发展型微分方程多步格式的数值理论及其应用

This project is mainly concerned with the numerical theory and its applications of multistep schemes for the evolution differential equations, which include the advection equation and the diffusion equation. Based on the finite difference methods of evolution differential equations, the project will present the multistep schemes and analyze the numerical theory. To overcome the order barrier problem of the classical multistep methods, we employ the ideas of boundary value method and analytic function. Furthermore, this multistep scheme will be applied to the evolution differential equations with high dimensions or delay terms. This project can not only enrich the numerical theory of finite difference methods for the evolution equations, but also give some effective algorithms for the development of the other applied fields.

本项目主要以线性发展型微分方程中的对流方程及扩散方程为对象，研究多步格式的数值理论及其应用。拟在已有的发展微分方程有限差分格式的基础上，利用常微分方程中边值方法的思想和解析函数等手段，给出多步格式的构造技术及理论分析，以克服原有多步格式建立过程中遇到的阶障碍问题。同时，将所得理论应用到高维发展微分方程和延迟发展微分方程上。本项目的工作不但能够发展现有的有限差分理论，而且也可以为其它相关的应用领域提供有效的算法支持。

本项目主要研究发展微分方程的数值理论及其应用。具体地，本项目分别研究了一维发展微分方程、高维发展微分方程和延迟发展微分方程的高阶数值方法，分析了相应的收敛性和数值稳定性。目前，发表SCI论文25篇。本项目的研究成果不但能够丰富微分方程的数值理论，而且也可以为相关应用领域的发展提供有效的算法支持。