复几何中的奇性分析及应用

In this project we will focus on various problems on geometric singularity and the related regularity in differential geometry and geometric analysis. The following problem will be investigated: existence of canonical metrics in Kaehler geometry, Ricci flow, geometric analysis theory of orbifolds, invariants of singularities and stabilities in algebraic geometry, etc. The main ingredients are the geometrical, analytical and topological properties of various singularities. The study covers potential theory in complex variables, real and complex Monge-Ampere typed equations in PDE, geometric invariant theory, moduli space theory, and singularity theory in algebraic geometry, and Ricci flow in geometric analysis. It is hopeful that significant progress can be made in the study of these problems in the near future.

本项目主要研究微分几何和几何分析中产生的几何奇点和相关的正则性问题，如Kaehler几何中的典则度量存在性，Ricci流，轨形的几何分析理论，奇点的不变量与代数几何中的稳定性等。这些问题的核心是与各种奇点有关的几何，分析，拓扑等性质的研究，研究领域涉及多复变中的位势理论， 偏微分方程中实和复Monge-Ampere型方程， 代数几何中的几何不变量理论、模空间理论以及奇点形变理论， 几何分析中的Ricci流等的研究课题。本项目有望在这些课题研究中取得重大进展。

我们课题组主要研究有关凯勒-爱因斯坦度量及相关学科的问题，如凯勒-里奇流的奇性，凯勒流形上的部分C^0猜测，Fano流形的模空间和几何稳定性等。.项目负责人田刚解决了有关凯勒-爱因斯坦度量存在性的丘成桐-田刚-Donaldson猜测，论文发表在国际顶尖杂志CPAM上。该结果中非常重要的一步时有关几乎凯勒-爱因斯坦空间的紧性与正则性理论的研究，相关结果由田刚教授与王兵证明，发表在国际顶尖杂志JAMS上。.在凯勒-里奇流的研究方面，田刚教授与张振雷证明了复二、三维凯勒-里奇流的收敛性，特别给出了二维、三维情形的丘成桐-田刚-Donaldson猜测的一个新的证明。论文发表在国际顶尖杂志 Acta Math.上。同时，田刚教授与宋健合作用凯勒-里奇流的方法研究了代数几何中Mori的极小化过程中，将奇性行为在里奇流下的实现。论文发表在国际顶尖杂志 Invent Math.上，在微分几何和代数几何方面引起极大关注。 .项目组其他成员对相关问题，包括环流形和孤立子可约李群的紧化空间上的能量泛函和凯勒-里奇流，孤立子的刚性，几何不变量的研究等都取得了重要的进展。.项目组研究的都是当前微分几何研究的热点问题，同时对偏微分方程，多复变，代数几何等领域的发展也有极大的促进作用。