非线性动力系统的最简正规形及其相关问题的研究

Normal form theory is an imporatant method to simply dynamical systems and essential for bifurcation theory. Linearization of nonlinear dynamical systems is an important topic in normal form theory. In our project, by using classical normal form theory, Banach fixed point theorem and functional analysis method in the proof on Hartman-Grobman topologically linearization theorem, we study linearization of dynamical systems, their normal forms and their corresponding classifications. For some diffeomorphisms on R^n, we expect to discuss Holder continuous and smooth linearization near their hyperbolic fixed points without nonresonant conditions; Secondly, the polynomial normal forms and the simplest normal forms for some maps near their nonhyperbolic fixed points are to be considered; Furthermore, the smooth classification and formal classification under conjugating equvalence are studied by using moduli-free normal form method.

正规形理论是简化动力系统的重要工具和处理分岔问题时的必要手段，研究动力系统在平衡点附近的局部线性化是分析系统局部动力学行为广泛采用的方法，非线性系统的线性化是正规形研究领域中的重要研究课题之一。本项目充分利用经典的正规形理论、Banach不动点定理，结合Hartman-Grobman拓扑线性化定理的泛函分析证明方法，来探讨动力系统的线性化、正规形及一些相关问题。具体包括：探讨R^n中微分同胚在双曲不动点附近在不附加非共振条件下的Holder连续线性化和光滑线性化问题；进一步研究一些映射在其非双曲不动点附近的多项式正规形和最简正规形，在此基础上利用模自由正规形的思想来研究系统在共轭等价意义下的光滑分类和形式分类问题。

正规形理论是源于Poincare时代的一个课题，其作为简化非线性问题的重要和有效手段之一通常是处理分岔问题的必要一步，非线性系统的线性化是正规形研究领域中的重要研究课题之一。本项目主要研究了离散动力系统的多项式正规形和最简正规形及相关问题，以及动力系统线性化、共轭等价及其相关问题。具体是：研究了R^3空间中线性部分系数矩阵不含有重根的非强1-共振映射，得到了该类映射在满足一定的条件下,可以光滑有限确定并且显式地给出了所有最简多项式正规形的具体形式。另外讨论了R^n中一类有额外共振关系的微分同胚和一些非自治差分系统的正规形的进一步化简问题。得到了非线性项是无界的PCAG型微分方程在共轭等价意义下全局拓扑线性化的一些充分条件。讨论了一般的连续微分方程和差分方程的指数型二分性的定义之间的联系。另外对分段连续微分方程也进行了研究。项目结果丰富了动力系统线性化和离散动力系统正规形及相关问题的研究。