带随机移民分支布朗运动与随机环境中分支随机游动的若干极限性质

Branching random walk in random environment and branching Brownian motion with random immigration, originated from the study of partial differential equations and statistic physics, are basic mathematical models and attract a lot of attention. This project aims to establish some limit behaviors of these two models. Firstly, the applicant plans to prove the annealed FCLT and quenched LDP of the branching Brownian motion with random immigration, which will reveal the mollification effect of the random immigration to the fluctuation of the model, and the influence due to the random immigrant and local particles. This research are continuation and developing of the previous results on the annealed CLT and LDP obtained by the applicant. Secondly, the applicant tries to obtain the asymptotic order for the leftmost position of branching random walk in random environment with small drifts. It is known that for branching random walk, different moving ways or different branching ways may results in different asymptotic orders of the leftmost position of particles. In this project, the applicant will determine precisely how the small drifts influence the leftmost position of branching random walk in random environment, and hence obtain the asymptotic order.

带随机移民分支布朗运动和随机环境中分支随机游动是源于偏微分方程和统计物理研究的基本数学模型, 也是概率研究的热点领域。本项目计划建立这两个模型的一些极限性质。1、建立一类带随机移民分支布朗运动annealed概率意义下轨道水平的中心极限定理以及quenched概率意义下的大偏差理论；从而揭示出随机移民对模型的波动磨光作用以及反映出极限结果受到随机移民和本土粒子两部分信息的影响程度。这是申请人已完成的该过程在annealed概率意义下中心极限定理和大偏差定理的深化和延伸。2、获得具有小漂移的随机环境中分支随机游动最左位置的渐近阶。分支随机游动已有的研究表明，其最左位置极限性质受到模型中粒子分支和运动两种行为相互作用的影响，不同的运动方式或不同的分支性质均可能对应不同的渐近阶。本项目拟彻底搞清楚小漂移这一运动方式对于随机环境中分支随机游动最左位置的极限渐近阶的精确影响。

本项目考虑带移民分枝布朗运动和分枝随机游动。它们都是概率论的热点研究领域，在统计物理和偏微分方程中有很多研究。同时，模型在许多领域都有广泛应用，比如，人口模型的生态分布和等位基因。.分枝随机游动的研究可以追溯到 Harris(1963)。目前，关于最左位置的研究取得丰富成果。当分枝随机游动模型中分枝方式上临界时，Kingman(1975)等人证明了最左位置的大数定理；当分支随机游动模型中分枝方式临界时，系统最终灭绝; Durrett等(1991), Kesten(1995), Lalley和Shao(2015), Zheng(2010)等考虑系统在n时刻还没灭绝的条件下最左位置的极限行为。.另一方面，Ikeda等(1965)研究了分枝随机游动的连续版本—分枝布朗运动。目前，关于分支布朗运动已有丰富的研究成果。虽然分枝布朗运动可以刻画许多实际模型，但当系统中有外来粒子加入时，需要考虑带移民的过程。关于带移民分支布朗运动的研究参看Gorostiza(1985,1986) 等。申请人定义了一类带随机移民的分支布朗运动，参看 (Stat. Probab. Lett, 2013) 和 (Acta Math. Sinica(B), 2014)。.基于目前的研究现状以及项目负责人已有的研究工作，本项目主要研究内容有如下两部分：.i) 带随机移民分枝布朗运动在quenched概率下的极限性质。.ii) 带小漂移分枝随机游动最右位置的渐进行为。.在研究分枝随机游动和带随机移民分枝布朗运动极限性质方面取得新的成果。主要包括如下两个方面:.i) 带随机移民分枝布朗运动在quenched概率下的中心极限定理。.项目组建立了模型在quenched概率下的中心极限定理；该结果进一步揭示了随机移民的磨光作用；由于quenched概率是annealed概率关于环境的正则条件概率，结果中的极限还不同于annealed概率下的极限。.ii) 带小漂移分枝随机游动最右位置的大偏差。.推广Zheng(2010)的模型，建立了最右位置的大偏差。该结果不仅可以揭示最右位置的渐进阶，同时，还揭示了最右位置偏离中心的概率的衰减速度。