常微分方程伪几乎自守问题的Massera型定理研究

This project is an application of basic research, which includes the following. 1.As a rising theorem, the problem of pseudo-almost automorphic solutions for ordinary differential equation has caused more and more interets in recent years. The methods of studying this problem are contractive mapping theory mostly and seldom fixpoint theorem. In the former work, we have considered the linear and nonlinear equations with exponential trichotomy and have studied the existence of pseudo-almost automorphic solutions by the application of Schauder fixpoint theorem, and we will take the further research for evolution equations and high order equations in the same way, as well as state the Lerry-Schauder type theorems. 2.As a classical tool of studying differential equations, Messera threom has been applied in the problems of periodic solutions, almost periodic solutions and almost automorphic solutions of ordinary differential equations. In this projiect, We attempt to state the Massera type theorem for pseudo-almost automorphic solutions using spectral theory, i.e. if the equation has boundary solutions then they are the pseudo-almost automorphic solutions. 3. Moreover, there are rare practical applications in this field, we will try to establish the mathematical and physical models or economic models of this problem, and by the algorithm.

本项目属于应用基础研究，主要包含以下内容。1.作为近几年来的新兴理论，常微分方程的伪几乎自守问题引起广泛关注。目前讨论伪几乎自守解存在性的工具主要是压缩映射原理，少数研究中采用不动点定理。前期工作中，我们已经考虑了满足指数三分性的线性和非线性常微分方程，利用Schauder不动点理论得到了伪几乎自守解的存在性；本项目中将进一步讨论发展方程以及高阶方程，同样给出伪几乎自守解存在的Lerry-Schauder型定理。2.研究微分方程定性理论的经典工具Massera定理已经应用在周期解、概周期解和几乎自守解的存在性研究中，本项目我们将采用诸如谱理论等方法来证明伪几乎自守解的Massera型定理，即若所考虑方程存在满足一定条件的有界解，那么此有界解就是原方程的伪几乎自守解。3.关于微分方程伪几乎自守问题的实际应用比较少，我们将致力于此方面的研究，建立相关的数学物理模型或经济模型并通过算法实现。

微分方程的相关研究和应用在自然科学中占有很重要的地位，由于绝大多数微分方程不能用初等函数的积分来表出通解，而且在工程、物理学、天文学中出现的微分方程又并不一定要求出解，而只需要知道解的某些性质，因此定性理论在微分方程理论研究和实际应用上都占有重要地位。也就是说，无论线性的还是非线性的方程，我们只需要研究右端函数的性质，从而得到微分方程解的存在性，唯一性和稳定性等特点。本项目正是基于此思想，研究了包括一阶和二阶，线性和非线性微分方程当右端函数是概周期的、几乎自守的以及伪几乎自守时，方程的解的存在性问题，并应用到生态、物理、经济等模型，具有重要的现实意义。.项目前期，在之前的工作基础上，研究了具有指数三分性的常微分方程的伪几乎自守问题，利用Schauder不动点理论得到了伪几乎自守解的存在性，并且将进一步讨论了发展方程伪几乎自守解的存在性。项目中期，继续深入研究微分方程定性理论，研究了二阶时标常微分方程的概周期解问题；同时期研究已有文献中提出的概周期解和几乎自守解存在的Massera型定理，特别是在证明过程中采用的函数的谱的理论，针对已经提出的非线性方程伪几乎自守解的Massera型定理，尝试给出新的证明方法。项目后期，我们的重心转移到研究微分方程定性理论的实际应用，重点研究微分方程伪几乎自守问题在数学建模、物理以及经济等方面的应用，同时着手进行交叉学科方向的研究，利用微分方程解决几何曲面问题。