测度伪几乎自守过程及其在随机泛函微分方程中的应用

Almost automorphy is one of the important recurrent motions and is concerned intensively recent years, further investigated in the deterministic systems. Measure pseudo almost automorphy is generalization of almost automorphy, describe the asymptotic behavior of solution to the differential equations, but it is rarely studied in the stochastic systems. This project devotes to the measure pseudo almost automorphy of stochastic functional differential equations in the Hilbert space, give the concepts of (Poisson) measure pseudo almost automorphic processes, establish the composition theorems, with the help of nonuniform exponential dichotomy、fractional powers operators and fixed point theorem, investigate the existence, uniqueness and stability of measure pseudo almost automorphic in distribution mild solution of stochastic functional differential equations with Lévy process, fractional Brownian motion and Markovian switching, consider the influence of Hurst parameter, the relationship between the boundedness and existence of measure pseudo almost automorphic in distribution mild solution is given, some well-know results are improved and generalized. Moreover, the new findings of this project will enlarge the theory of measure pseudo almost automorphic process, develop mathematical method and skill, provide some theoretical evidences for practical models.

几乎自守性是重要的一类回复性，近年来受到广泛关注，在确定性系统中得到了深入研究。测度伪几乎自守性是几乎自守性的推广，刻画了方程解的一种渐近行为，但在随机系统中的研究甚少。本项目以Hilbert空间中随机泛函微分方程为研究对象，以测度伪几乎自守性为核心，提出(Poisson)测度伪几乎自守过程等相关概念，分析基本性质并建立了相关的复合定理，应用非一致指数二分性、分数幂算子和不动点定理等方法，在依分布意义下，研究Lévy过程驱动、分数Brownian运动驱动、Markov调制的随机泛函微分方程的测度伪几乎自守温和解的存在唯一性，并在此基础上，进一步研究其稳定性，阐明Hurst参数对系统的影响，探讨方程解的有界性与测度伪几乎自守温和解存在性之间的关系，改进并推广已有的结果。通过本项目的研究，将丰富测度伪几乎自守过程理论，发展新的数学理论与方法，得到一些新的结论，为现实模型提供理论依据。

几乎自守性是重要的一类回复性，近年来受到广泛关注，在确定性系统中得到了深入研究。测度伪几乎自守性是几乎自守性的推广，刻画了微分方程解的一种渐近行为，但在随机系统中的研究甚少。本项目以Hilbert空间中随机泛函微分方程、随机积分微分方程为研究对象，以测度伪几乎自守性为核心，提出(Poisson)测度伪几乎自守过程等相关概念，分析基本性质并建立了相关的复合定理，应用指数二分性理论、分数幂算子、算子半群和不动点定理等方法，在依分布意义下，研究Brownian运动、Lévy过程驱动的随机泛函微分方程、随机积分微分方程的测度伪几乎自守温和解的存在唯一性，并在此基础上进一步研究其稳定性。同时，针对与之相对应的确定性系统，本项目也研究了测度伪几乎自守性、测度伪概周期性等动力学性质，分析解的稳定性、吸引性等渐近行为，并探讨了有界性与几乎自守性之间的关系，改进并推广已有的结果。作为应用，本项目给出了相关动力学性质在实际模型中的应用，针对 Nicholson 果蝇模型、Hematopoiesis 模型和新古典增长模型，探讨了其概周期、伪概周期解的存在唯一性，并研究了其解的指数稳定性。通过本项目的研究，将丰富测度伪几乎自守性的基本理论，发展新的数学理论与方法，得到一些新的结论，为现实模型提供理论依据。