基于Stein方法与Malliavin分析的自相似过程渐近行为研究及相关问题

In recent years, there has been considerable interest in studying fractional Brownian motion due to its applications in various scientific areas including telecommunications, turbulence, image processing and finance. Many authors have also proposed using more general sef-similar processes as stochastic models. However, the complexity of dependence structures has brought so many difficulties and challenges in studying them. This project aims to establish some new results in different topics of stochastic calculus for some selfsimilar processes. First, by combining the Stein’s method and Malliavin calculus, the asymptotic behavior of some functionals of self-similar processes (such as self-similar Gaussian processes and Hermite process), including weighted power variation,local time, stochastic currents and etc, will be investigated. A second objective of the project is to obtain results for the stochastic partial differential equation with self-similar Gaussian noises. The techniques of Malliavin calculus will be applied to prove the existence and smoothness of the density, to derive the upper and lower Gaussian estimates for the density and to study the asymptotic behavior of the solutions to stochastic partial differential equations. On the other hand, motivated by some applications in financial time series and econometrics, the development of a stochastic calculus with respect to linear process and self-normalized sums associated with self-similar processes is also one of the aims of this project.

随着对分数布朗运动研究的深入，很多学者建议使用更一般的自相似过程作为一些现象的随机模型，由于这些自相似过程具有很多优美的性质及其广泛的应用，因此对其研究具有重要的理论意义和应用价值。本课题旨在结合Stein方法和Malliavin 分析深入研究几类自相似过程与相关泛函的渐近行为与相关问题。首先拟研究几类自相似高斯过程和Hermite过程与相关泛函（如赋权幂变差、局部时、随机流等）的渐近行为及相关问题；其次研究由自相似高斯噪声驱动的典型类随机偏微分方程，内容主要包括适度解的存在唯一性、密度的存在性和光滑性及其上下界的精确估计等精细概率分析性质；最后研究与自相似过程相关联的线性过程和自正则化和的渐近行为及相关问题，为金融时间序列与计量经济学的实际数据建模提供重要的理论基础。

近年来，随着对分数布朗运动研究的深入，很多学者开始关注更一般自相似过程的随机分析问题。基于此，在本项目的研究中，我们结合 Malliavin 分析与 Stein 方法，深入研究了几类自相似过程的随机分析及相关问题。.我们首先研究了几类由高斯噪声，尤其是分数噪声驱动的随机偏微分方程，主要证明了该类方程适度解的存在唯一性、轨道 Holder 正则性以及适度解密度的存在性、光滑性与高斯型的上下界估计等性质。其次，针对由时空白噪声驱动的随机热方程，基于 Malliavin 分析和 Stein 方法，我们研究了其解伴有“移动时间”的空间二次变差的渐近行为，其中“移动时间”是指时间非固定，可以很大也可以很小，得到了一些有意义的结果。.另外，我们也研究了一类伴有齐次 Neumann 边界值条件和双参数分数噪声的四阶随机热方程的弱逼近问题。再次，我们研究了Besov 空间中双参数Volterra 重分数过程的弱逼近问题。与此同时，考虑了几类自相似高斯过程的赋权幂变差的渐近行为。对于分数布朗运动，通过构造广义二次协变差，利用 Malliavin 分析等工具，构造适当的 Banach 空间使得广义二次协变差在 中存在，并且建立了广义二次协变差与分数布朗运动局部时积分之间的关系。.对于次分数布朗运动，我们分别研究了其赋权立变差和赋权 Hermite 变差的渐近行为。随后基于多重 Wiener-It\^{o} 积分和 Malliavin 分析，我们研究了次分数布朗运动“调整二次变差”的渐近行为，基于此结果，我们构造了次分数布朗运动自相似指数的强相合估计量。上述结果在某种程度上为自相似过程的随机分析及相关问题研究提供了一下有意义的成果。