Hida-Malliavin分析方法在带跳正倒向随机系统及相关领域的应用

The aim of this project is to study the Hida-Malliavin calculus method of the forward-backward stochastic system with jump and the related stochastic control as well as the financial application. Our research mainly includes the following detailed contents and aims. Firstly, we use spike variation technique, white noise theory and the related theory of Hida-Malliavin calculus to study the stochastic maximum principle of the forward-backward stochastic system, a new type of mean-field forward-backward stochastic system and the forward-backward stochastic Volterra system with jump. Furthermore, with the help of non-smooth analysis, we investigate the relationship between the adjoint equation and the upper (lower) differential of the viscosity solution with the perturbation parameter under the near-optimal control and Markov condition. Secondly, using trapezoidal rule and the integration-by-parts formula of Malliavin calculus, we propose some numerical schemes for solving backward or forward-backward stochastic Volterra equations. Thirdly, through the prior estimate of the solution and the contraction mapping principle, we will prove existence and uniqueness of the solution and a comparison principle of the reflected backward stochastic differential equation or forward-backward stochastic differential equation driven by time-changed Lévy noises. Then, we will investigate the related stochastic optimal control and the financial application. Finally, by the theory of backward stochastic differential equation we will study a closed-form solution for the price of a European vulnerable option in the presence of ambiguity about the stochastic process that determine the variance of the underlying asset's return.

本项目旨在研究带跳正倒向随机系统和相关控制问题的Hida-Malliavin分析方法及金融应用。主要包括：(1)利用Spike变分技术、白噪声理论和与之相关的Hida-Malliavin分析理论研究带跳正倒向随机系统、新的带跳平均场正倒向随机系统以及带跳正倒向随机Volterra系统最优控制的最大值原理；借助非光滑分析深入探讨在次优控制意义和马尔科夫情况下，伴随方程与带摄动参数的粘性解上（下）微分之间的关系。(2)采用梯形规则和Hida-Malliavin分部积分公式，尝试建立倒向、正倒向随机Volterra方程的数值解法。(3)通过解的先验估计以及压缩映像原理，研究一般形式时变Lévy噪声驱动的反射型以及正倒向随机微分方程解的理论及其随机最优控制问题，探究其金融应用。(4)利用倒向随机微分方程理论作为工具，研究标的资产收益的方差过程存在ambiguity框架下脆弱期权价格的解析解。

由于应用的广泛性，带跳正倒向随机系统备受关注。本项目深入研究了带跳正倒向随机系统解的理论和相关随机控制问题的Malliavin分析等方法以及金融应用问题。主要包括：（1）给出了由Lévy型乘性噪声驱动的一类非线性偏微分方程以及正倒向双重随机微分方程解的存在唯一性定理；证明了分式噪声驱动的双边反射随机偏微分方程解的存在性和唯一性，研究了其解的Hölder连续性以及大偏差原理；给出了随机反应扩散系统的中心极限定理和中偏差原理。（2）对于正倒向双重随机控制系统，当控制区域非凸时，建立了最优控制的最大值原理；在Malliavin积分的框架下，研究了凸控制约束下由正倒向随机微分方程控制的两类奇异最优控制问题；研究了一类由确定系数的正倒向随机微分方程驱动的线性二次型最优控制问题，给出了最优控制存在的充要条件。（3）深入研究了凸控制约束下Stackelberg随机微分对策的全局解、无穷区间具有随机系数的随机微分方程驱动的Stackelberg随机微分对策以及有限区间正倒向随机微分方程驱动的零和随机微分对策理论。（4）作为应用，本项目还研究了一些具体的金融问题：研究了Merton的跳跃扩散模型下，对具有不同债务期限的股票认股权证进行定价的问题；在带跳的金融市场中，利用两点Geske-Johnson方法，给出企业负债随机条件下美式看跌脆弱期权的近似定价公式；作为最优控制理论的金融应用，研究了不确定波动率模型下欧式脆弱期权的定价问题；在新的不确定市场模型下，研究了欧式脆弱看涨期权、蝶式期权以及欧式价差期权的定价公式及算法。.所得结果丰富和发展了正倒向随机微分方程、随机（偏）微分方程、Malliavin 分析的研究领域和应用范围，进一步丰富了随机控制、随机微分对策以及金融数学理论，得到的成果有交叉应用前景。