非唯一分解理论和Thue型方程

Non-unique factorization theory is a popular interdisciplinary research direction. This project will be devoted to apply combinatorial techniques,algebraic methods, number theory skills, group rings theory and the theory of Abel group characters and so on to the study of some invariants and related zero-sum problems on non-unique factorization theory, the characterization, classification and extension problems of half-factorial domains and the characterization of the factorizations of algebraic integers in algebraic number fields, the conclusions obtained will enrich the content of non-unique factorization theory. And at the same time we will apply algebraic number theory methods, Gap techniques, Thue-Siegel method and Kezhao's method to the study of Thue's equations and a series of Diophantine equations which are related to Thue's equations, the studying achievement will be further perfect Thue's equation theory.

非唯一分解理论是数论、组合和代数的一个热门交叉研究方向。本项目将致力于用组合技术、代数方法、数论技巧、群环和加群特征标理论等研究非唯一分解理论中有关分解长度集合的一些不变量及相关的零和问题、半分解整环的刻画、分类和扩张问题以及代数整数环中代数整数的分解刻画，所得结论将丰富非唯一分解理论的内容。同时还将用代数数论方法、Gap技术、Thue-Siegel方法和柯召方法来研究Thue型方程以及与Thue型方程有关的一系列不定方程，所得成果将进一步完善Thue型方程理论。

本项目主要研究非唯一分解理论和Thue型方程问题。.在非唯一分解理论与零和问题的研究中， 我们重点研究有限循环群 上的不可分零和序列的结构、极小零和序列的Index和一些常数的刻画与计算。我们在此方面的研究方面取得了较大的突破，我们完全刻画了有限循环群 上的所有长度大于 不可分零和序列的结构，在此之前最好的结论是由袁平之、Savchen和Chen于2007年独立得到的，他们完全刻画了有限循环群 上的所有长度大于 不可分零和序列的结构，这一结论在零和问题和非唯一分解理论有非常重要的应用。袁平之的2007年发表在JCTA的论文已经被引用31次（Math. Reviews）。同时，我们否决了高维东教授2000年关于最大Index的猜想。高教授猜想为：有限循环群 上极小零和序列的最大Index小于 ，其中 为绝对常数. 我们的例子表明了最大的Index大于 。我们还在一类常数的刻画方面取得不错的进展。.在Thue型方程的研究方面，我们重点研究了几类指数不定方程，这也是这一方面最近几年不定方程研究的热点之一。 特别我们得到了商高猜测方面的重要进展，我们的结论较大地改进了现有的大多数结论。.这一期间我们还在有限域上置换多项式的构造和图论中的张量这两个方面的研究方面取得重要进展。有限域上置换多项式是数论应用的一个重要的研究课题，它的研究有重要的理论意义和应用价值.最近几年来，关于这一方面的研究有较大地突破，我们也在这一方面做出了一点贡献。例如：我们给出了著名的“AGW准则”的一个有益的注解和一些有价值的应用，这一期间我们在“FFA、DCC、SJDM”等国际权威期刊上发表了6篇高质量的论文。在图论的张量理论的研究方面，主要得益于与尤利华教授和我的硕士研究生何子龙的有益讨论. 我们完全解决了著名图论专家邵嘉裕教授提出的关于张量的本原指数的猜测，并对本原指数集进行了系统的研究。