椭圆型方程多解性和解的局部唯一性的研究

The existence and multiplicity of solutions to elliptic equations and systems with various coupling and critical exponents or on unbounded domains have been focused on for a long time. Under the sketch of nonlinear functional analysis, this programm intends to obtain the existence and multiplicity results of solutions to elliptic equations and free boundary problems by improving the methods in functional analysis such as variatonal, topological argument,critical group, and by combining the methods of priority estimate and regularity theory in PDEs.. It is very hard to obtain some results related to the local uniqueness, periodicity and symmetry by using the abstract theory of variational method. This programm intends to establish some local Pohozaev identities of several types of PDEs, with which we can obtain some uniqueness results on the solutions. These uniqueness results can help us to establish some periodicity and symmetry results. This idea will overcome the dependence of the tradational arguments on smoothness,topological degree, and will be more fundemental,direct and more general.

椭圆型偏微分方程和不同耦合方式下的方程组在无界区域或具有临界指标情形下解的存在性或多解性一直是人们关注的热点。本项目拟在非线性泛函分析的框架下，改进变分原理、拓扑方法、临界群理论、非光滑分析和泛函分析的有关理论和方法，结合偏微分方程先验估计和正则化理论，得到椭圆型问题及自由边值问题解的存在性、多解性以及渐近性结果。. 椭圆性问题解的局部唯一性、周期性、对称性结果很难在变分的抽象理论下得到。本项目拟建立偏微分方程的局部Pohozaev恒等式，并利用它得到解的局部唯一性结果，并由此获得解的周期性等对称性结果。本方法克服了传统方法对泛函的光滑性、拓扑度方法的依赖性，更为基本、直接，更具一般性。

将非光滑问题、椭圆方程解的存在性问题、解的对称性和唯一性等问题纳入在局部Pohozaev恒等式这也个统一的框架之下来处理，不仅使得方法更简洁明了，而且能得到用以前方法得不到的结果。特别是，该方法不需要变分泛函的高阶光滑性、不需要解的能量估计、甚至不需要变分结构。利用该方法，本项目解决了多个著名数学家提出的公开问题。. 对于拟线性Schrodinger方程，给出了此类问题临界指标的定义，得到了该问题的无穷多个径向对称解。建立了对应的临界指标问题正解的存在性和非存在性结果。针对非局部问题改进了径向粘连法并得到了含有规范场Schrodinger方程的无穷多个变号行波解。针对非局部问题改进了径向粘连法，将单个方程的非局部项问题转化为一个系统，得到了其无穷多个变号解。. 在J.Math.Pures Appl. 、Proc.London.Math.Soc.、Tran. Amer. Math.Soc. 、J.Funct.Anal.、Calc.Var.Partial Equations、 J. Differential Equations等期刊上共发表研究论文21篇，应邀在《中国科学》上发表综述论文一篇。在剑桥大学出版社出版专著《Singularly perturbed methods for elliptic equation》（已签订出版协议）。获得国家级教学成果奖二等奖1项、湖北省高等学校教学成果奖一等奖2项。