不可分极小零和序列的结构与Davenport常数

Due to the efforts of Gowers, Tao and etc, additive combinatorics has become an active field. Non-unique factorization theory is a popular interdisciplinary research direction. Unsplittable minimal zero-sum sequences over finite Abel groups and Davenport constants are important research topics in zero-sum problems and non-unique factorization theory of additive combinatorics, the characterization of its structure are essential for the study of many problems on zero-sum problems and non-unique factorization theory. We will make further investigation along this line, we will focus the study on the structure of unsplittable minimal zero-sum sequences whose lengths are next to the Davenport constant D(G) , where G is an Abelian group, and on the related classical problems on zero-sum problems. This project will be devoted to apply combinatorial techniques, number theory skills, polynomial invariant theory of finite groups, group rings theory and representation theory to the study of the related problems. The conclusion obtained will enrich the content of zero-sum problems and non-unique factorization theory .

在Gowers与Tao等的推动下加法组合已成为一个活跃的研究领域。 非唯一分解理论是数论、组合和代数的一个热门交叉研究方向。有限Abel群上不可分极小零和序列和Davenport常数是加法组合中零和问题和非唯一分解理论的重要的研究课题，它的结构的刻画对零和问题和非唯一分解理论中的许多问题的研究是关键和重要的。 我们将深入开展这一方面的研究工作，将致力于研究那些长度仅次于Davenport常数D(G)的Abel群G 上不可分极小零和序列的结构，以及与之相关的一些经典的零和问题。本项目将致力于用组合技术、数论技巧、有限群的多项式不变量理论、 群环和表示理论等研究这一方面的问题. 所得结论将丰富对零和问题和非唯一分解理论的内容。

本项目主要研究不可分极小零和序列的结构与Davenport常数及密切相关的数论基础性问题。.不可分极小零和序列的结构与Davenport常数的研究中，我们取得了一些阶段性成果。在相关的有限域上置换多项式、幂函数的谱分布和铺砌理论等方面，我们取得了一系列重要成果，这些成果对于密码学和铺砌理论的研究有重要的推动作用。我们的主要研究成果有：（1）完全解决Blondeau, Canteaut 和 Charpin猜测，利用有限域的一些深刻结论首次给出了两类重要的幂函数的完整谱分布。（2）利用置换多项式的本质特性给出了几类新的置换多项式。特别，我们定义了多项式的QM-等价，由此统一了一些文献中的几个重要结论。（3）给出了两类（无穷多）完全奇异情形的循环群的分拆的刻画和一类非奇异情形的刻画。最近，我们又在非奇异情形取得重要进展，这些结论是这一理论方面的最新进展。这些成果均已论文的形式发表在国际上著名的权威期刊DCC（一篇）、FFA（两篇）和AAECC（两篇）。. 在相关问题不定方程理论研究方面，我们取得了如下几个方面的重要成果：（1）完整地解决几类重要的指数不定方程，给出了几类指数不定方程和与椭圆曲线有关的不定方程的解的好的上界。（2）给出了类似商高猜测形式的另一个优美猜测，受到同行的好评。（3）用椭圆曲线的有关结论给出了几类方程的解数的上界。（4）给出了Fermat型方程在整数矩阵方面的类比。这几个方面关于不定方程方面的结论推动了不定方程理论的研究和发展。这些成果均已论文的形式发表在国际上著名的权威期刊Acta Arith（一篇）、JNT（一篇）、Acta Math Hungar（两篇）等。