函数的唯一性问题和非齐次线性微分方程解的性质

Algebroid functions are a class of multi-valued analytic functions. Meromorphic functions belong to the class of algebroid functions. The uniqueness theory of algebroid functions is a natural generalization and improvement of that of meromorphic functions. In this project, we will investigate the uniqueness of algebroid functions sharing values with their derivatives, and the uniqueness of algebroid functions sharing small functions. Recently, the uniqueness theory of meromorphic functions in an angular domain become an active topic. Its main research tool is Nevanlinna theory in an angular domain. But the imperfection of the estimation of its error term makes it diffcult to investiga this question. In this project, we will find some new methods to investigate the uniqueness of meromorphic functions sharing small functions in an angular domain. Non-homogeneous linear differential equations present an area of complex differential equations which is still surprising defectively investigated. In recent years, many researchers found that entire functions having the properties of Brück conjecture (one of problems in the uniqueness theory of meromorphic functions) in fact satisfy certain non-homogeneous differential equations. Therefore we will take a deep step to investigate the properties of solutions of non-homogeneous differential equations, in order to promote the improvement and development of Brück conjecture.

代数体函数是一类多值解析函数，它是亚纯函数的推广，代数体函数唯一性理论是亚纯函数唯一性理论的延伸和发展。本项目将研究与其导数具有公共值的代数体函数的唯一性问题和具有公共小函数的代数体函数的唯一性问题。角域内亚纯函数唯一性理论是近几年国际上兴起的一个热点，其主要研究工具为角域内亚纯函数的Nevanlinna理论。但该理论对余项估计的不完美性导致这方面的研究非常困难。本项目将应用新的方法，研究角域内亚纯函数具有公共小函数的唯一性问题。非齐次线性微分方程是复域微分方程的重要方面，其研究仍很不完善。近几年来，许多研究者发现满足Brück猜想（亚纯函数唯一性理论中的问题）条件的整函数实际上满足一类非齐次微分方程，因此本项目还将深入探讨非齐次微分方程解的性质，以促进Brück猜想的完善和发展。

函数唯一性理论是复分析中的一个重要分支, 本项目就代数体函数唯一性理论和角域内亚纯函数唯一性理论的若干问题进行了研究. 通过建立函数分支点和公共值点之间的关系, 我们研究了代数体函数与其导数分担公共值的唯一性问题及分担公共小函数的代数体函数的唯一性问题,取得了很好的进展, 将亚纯函数与其导数的3IM和2CM分担值定理延伸到了代数体函数. 应用Tsuji特征函数的性质, 我们研究了亚纯函数在不同类型的角域内分担公共小函数的唯一性问题, 得到类似于平面上具有公共小函数的唯一性结果. 本项目还研究了复微分、差分方程解的性质. 微分、差分方程理论在物理学中有着广泛的应用, 许多的物理模型就是微分、差分方程. 本项目讨论了几类整函数系数和亚纯系数的非齐次微分方程具有无穷级解的判定条件, 精确估计了方程解的增长性和零点收敛指数. 讨论了一类线性差分方程亚纯解的增长性, 给出了方程解的级的下界估计及方程解的零点、极点的性质. 应用方程解的零点分布和级的关系, 研究了整函数与其差分算子的Bruck猜想, 得到函数的表达式. 在项目的研究中还培养了6名硕士研究生从事本方向的研究.