流体力学中若干非线性多解问题的理论研究及解析计算

本项目拟用同伦分析方法求解流体力学领域中一些非线性多解问题,如壁面射流问题,管道/渠道流动问题.对这些问题的研究，有助于我们辨别这些解的物理意义，或给出问题的更为严格的边界条件,帮助我们认识这些有趣的非线性现象。对于一个具有三个或三个以上解的非线性方程来说，到目前为止，据申请人所知，还没有人应用同伦分析方法进行过这一方面的系统理论研究。此外，非线性问题多解的数学结构往往也非常复杂。求解这一类问题也是对"同伦分析方法"的挑战。因此，以"同伦分析方法"作为手段研究流体力学中非线性的多解问题，将会大大丰富我们对这一类问题的认识，深化对非线性现象的物理本质的了解。

在本项目中，我们对流体力学领域内的几类非线性问题，如渠道流动问题、平板间的混合对流问题、射流问题、纳米流体流动及传热问题进行了深入的研究，并取得可喜的成果。.项目的主要工作可以归纳为两个方面，从同伦分析方法发展的角度来看，我们成功的求解了非线性渠道流动问题，首次给出该问题三类性质不同的解，其中的两类解在以往的研究中未见被报道过。该工作不仅验证了同伦分析方法求解有界区间的非线性多解问题的有效性，还为科学研究人员提供了一种新的解决非线性多解问题的方法。我们通过对运动平板引起的边界层流动问题及壁面射流问题的研究，建立了一套求解具有代数衰减性质的无穷多解的同伦方法，进一步拓展了同伦分析方法的适用范围。我们通过对非线性近共振水波问题的研究，建立了一套求解时域上非周期变化的同伦方法，该方法可望应用到其他类似的问题之中。此外，通过对这些非线性问题的研究，我们还对同伦方法中的辅助参数选取、误差估算、优化计算等方面进行了系统的理论研究，取得了比较好的效果。.从应用研究的角度来看，我们对纳米流体中的边界层流动及传热问题进行了系统研究。对于两平板间混合对流问题，我们分别研究了水平、垂直、倾斜平板三种情况，对它们的物理机理进行了深入的分析、讨论，得到了这些问题的高精度解析近似解，并首次给出垂直、倾斜两种情况的精确解。对于三维平板拉伸问题，我们首次给出该问题高精度显式解，并利用数学方法严格证明了这些解在远场呈指数衰减的性质。我们对纳米流体中的非定常薄膜流动问题进行了理论研究。从数学的角度来看，该问题为具有未知边界的非线性问题。对该问题的成功求解也进一步拓展了同伦分析方法的应用范围，具有一定的指导意义。该工作的开展也为我们今后研究探索更为复杂的非定常、非相似、复杂边界条件，以及具有周期性质的纳米流体流动问题打下了坚实的基础。