非线性波理论中若干问题的符号计算研究

The symbolic computation approach is applied to research the Darboux transformation and its applications in the theory of nonlinear wave. The basic idea of Darboux transformation is to get the new solutions of the nonlinear wave equation and the corresponding solutions of the Lax pair simultaneously from a known solution of the nonlinear wave equation and a solution of its Lax pair by using algebraic and differential computation. The arithmetic of Darboux transformation of nonlinear wave equation is designed. By which the maple pacage of Darboux transformation of nonlinear wave equation is established. Some new nonlinear systems and their Hamiltonian structures are also established by the symbolic computation. With the aid of the new approach, it was a long time solving of some difficult problems can be attempted. Moreover, some new results are also obtained. Base on the above research, new approach and the powerful tool can be provided.

本项目利用计算机符号处理方法在非线性波理论中开展Darboux变换及其应用研究。Darboux变换的基本思路是利用非线性波方程的一个解及其Lax对的解，用代数算法及微分运算来得出非线性波方程的新解和Lax对的相应的解。本课题设计出构造非线性波方程Darboux变换的有效算法，并研制非线性波方程Darboux变换的自动推导软件包。将计算机符号计算方法同样应用于构造新非线性系统及其双- Hamiltonian结构。采取这种新的研究手段致力于解决一些长期以来不能解决的困难问题，并依此发现和获得一些新的结果，为实际问题的解决提供新的方法和工具。

非线性波现象不仅在物理界扮演着十分重要的角色，而且在数学界也成为具有挑战性的研究热点。对它的研究，出现了很大的进展，一些新的结果和观点以令人目眩的节奏在诞生着。. 本项目基于变换方法在非线性波领域开展研究。具体采用Darboux变换和坐标变换，探索了非线性波方程的解及其可积性质，即1.构造了非线性Schrödinger类型方程和一些耦合非线性波方程的怪波解，揭示了怪波现象的一些特性，如发现了周期波背景下的怪波和多峰状的怪波。2.尖峰多孤子解是应用分部理论得到的，它属于非线性波方程的弱解。在多分量Camassa–Holm系统中，获得了一些新结果。3.通过坐标变换，把求解困难的新可积方程化为经典的可积方程，成功获得了新可积方程的精确解。以上研究将非线性波问题从低维进入高维、从单个方程进入多变元耦合系统、从经典可积系统进入尖峰可积系统。本项成果长足地发展了变换方法在可积系统领域的应用，丰富了数学物理学的研究内容，为非线性科学提供了新的途径和工具。. 自本项目实施以来， 在《Phys. Lett. A》、《Nonlinear Dyn.》、《Commun Nonlinear Sci Numer Simulat》、《Phys. Scr.》等国际和国内学术期刊上发表论文27篇，其中14篇被SCI收录。能够取得这些成果，国家自然科学基金的资助起到了极其重要的作用。部分成果获得内蒙古师范大学科研成果奖2项，青年科学技术创新奖1项。 主持人2011年荣获内蒙古“草原英才”称号，2012年以“西部之光”访问学者到清华大学数学科学系访问一年，2014年以国家公派留学基金资助访问学者赴美国得州大学泛美分校数学系访问一年。主持人和项目组成员曾参加非线性数学物理国际会议暨全国孤立子与可积系统会议（2013杭州、2015潍坊）；第九届IMACS国际会议“非线性演化方程与波的现象-计算和理论”（2015亚特兰大）；美国得州偏微分方程年会（2015休斯顿）；中国数学会年会（2016呼和浩特）等，报告了主要研究成果，并引起了同行的重视和好评。培养硕士研究生6名，，其中2名硕士获得国家奖学金，1名硕士获学校优秀硕士学位论文。