一类来源于养老政策研究的随机控制模型

It is widely acknowledged that pension policy is pivotal to both individuals and the whole society's well being. There are many related problems which need to be further investigated in China, for example, flexible retirement age, the subscription and payment of pensions etc. The existing research focuses on either individual's optimal retirement age, by taking account of his/her optimal investment and consumption strategy, or pension institution's asset-liability management. The current project will provide a unifying framework in continuous time to incorporate both individuals and pension institutions, and to identify the optimal investment, consumption and retirement strategies for individuals, as well as the optimal strategies for pension institutions' balance sheet management. Mathematically, it is a leader-follower game involving both optimal control and optimal stopping, and leading to a singular stochastic control/optimal stopping problem. Among others, one of the main difficulties is that the objective functional of one player will depend on the value function of his/her counterparty, thus increasing the nonlinearity of the underlying problem. We propose to implement a decoupling method to solve the underlying problem from both theoretical and numerical perspectives, and to provide some practical suggestions based on the results of the model.

养老政策影响着国人生活质量和社会稳定发展。虽然我国“个人和国家共同养老”的政策已经确立，但很多具体方案还在探讨，如：弹性退休、养老金的缴纳和发放比例、收支平衡等。各种方案均有利弊、影响复杂。已有研究，或从参保人出发考虑最优投资、消费和退休时间问题；或从养老基金管理机构出发考虑离散模型下的养老金收支平衡问题。本项目将从参保人和管理机构双重角度考虑，利用连续时间模型，寻找参保人的最优投资、消费和退休策略，管理机构的最优养老方案，使养老金的收支平衡、社会的幸福感最强。数学上看，该问题是一个具有主从关系的对策与停时、奇异控制耦合的最优控制问题。其难点在于主问题的指标泛函(社会的幸福感)由从问题的值函数(个人幸福感)描述；对策与停时、奇异控制耦合增加了问题的非线性。我们拟通过特定假设和解耦方法规避或解决这些困难，从理论和数值上进行研究，获得一些结果；并结合实际数据进行实证分析，给出合理的解释和建议。

本项目从养老保险的参保人和管理机构双重角度考虑养老政策问题，建立了一个连续时间的、具有主从关系的对策与停时、奇异控制耦合的最优控制问题。其中参保人和管理机构是对策问题的局中两人，参保人根据自己的实际情况和管理机构制定的退休政策选择合适的退休时间、投资风险资产、消费和商业保险，使自己的期望效用最大，是对策问题的从方；管理机构根据参保人的情况，选择合理的养老方案，使得社会的幸福感(社会总的期望效用)最大，是对策问题的主方。.本项目从简到难考虑了如下的从问题，即在一定养老政策下，参保人的最优退休投资消费问题：.1.固定退休时刻和固定死亡时间，不投资商业保险的问题F1；.2.固定退休时刻，死亡时间随机，不投资商业保险的问题F2；.3.弹性退休，死亡时间固定或随机，不投资商业保险的问题F3；.4.固定退休时刻，死亡时间固定或随机，可以投资商业保险的问题F4；.5.弹性退休，死亡时间固定或随机，可以投资商业保险的问题F5；.而且考虑了如下的主问题，即在固定退休时刻假设下管理机构的最优养老政策方案问题：.6.只有保证管理机构整体收支平衡的约束的问题L1；.7.除了问题L1中的约束，还有“个人养老金的累积缴纳现值等于累积领取现值的数学期望”的约束的的问题L2。.经过四年的努力，我们按照原定计划完成了相关的研究，具体而言：.1.对于问题F1、F2和F3，从理论上进行分析，得到一些最优投资、消费策略和值函数的性质，证明了它们关于退休时间、养老金缴纳比例和发放率、工资收入率、效用函数的单调性或非单调性，弹性退休政策对问题性质的影响；.2.对于问题F4从理论，对于问题F5从数值上得到了类似于1中的结论，而且从展示了投资商业保险对问题性质的影响；.3.对于问题L1、L2，在退休时刻和固定死亡时间，不投资商业保险的假设下从理论上，在其他假设下，从数值上给出了值函数、最优投资策略和政策参数的性质。.获得的结果和使用的方法具有如下意义：.1.项目的结果可以帮助我们了解一些常见养老措施的优缺点，寻找最优的方案，既让国家养老金账户收支平衡，又让社会和谐幸福；.2.项目的方法有助于我们更加深入地理解随机控制与偏微分方程之间的联系。