一类可计算随机模型参数优化决定的反问题

Parameter Determination Problems are usually reformulated as inverse problems for differential equations in the mathematical way. They appear as the optimal determination problems of parameters such as geometric parameters or physical-chemical parameters of the concerned media...The project focuses on a class of computable stochastic model, where the main core characteristics is a class of parabolic, stochastic differential equations based on the physical, chemeical or financial law, which have multilayer structure, multiscale process and stationary/nonstationary stochastic process. The models arise in functional clothing parameter determination based on the heat-moisture transfer law, crystal paremeter determination in catalyst preparation process based on the multiscale model and paremeter determination based on the financial data. ..The project will overcome the stochasticity, nonlinearity and multiscaling property of inverse problems to study the following researches: ..1. Derive the unified mathematical reformulation for the computable model such as determinstic or stochastic direct problems, and study well-posedness analysis and henceforth obtain a series of theoretical results; ..2. Reformulate the computable stochastic models mathematically and define the generalized solution, henceforth study the uinque existence and conditional stability with a sereis of theoretical results; ..3. Develop the numerical algorithms for direct problems and inverse problems, and obtain the efficient，fastly convergent and highly accurarcy algorithms.

参数决定问题在数学上可归结为微分方程反问题，这类问题表现为介质几何参数或物化参数的优化决定问题。..本项目考虑一类可计算随机模型，其共性是基于物理、化学、金融规律建立的随机抛物型方程（组），具有多层结构、多尺度过程、稳态/非稳态随机过程。这类问题来源于基于热湿耦合原理的功能服装参数优化决定、多尺度模型的催化剂制备过程中的参数优化决定、金融数据的参数优化决定问题等。..本项目针对这类反问题的随机性、非线性性、多尺度性展开研究，包括：..1、构造完整统一的数学归结（正问题模型，确定性模型和随机模型），并进行模型的适定性分析，获得系列理论结果；..2、针对随机模型，建立其参数优化决定问题的数学归结和广义解的定义（反问题模型），进行反问题解的唯一存在性、条件稳定性的研究；..3、对正问题、反问题进行数值算法研究，实施有效的、收敛快、高精度的数值算法。

本项目围绕一类可计算随机抛物型方程模型的参数优化决定反问题，开展反问题理论分析、数值计算及其应用研究，其共性是基于物理、化学、金融规律建立起来的抛物型偏微分方程（方程组）复杂问题。 ..建立了多层热湿耦合扩散随机模型、结晶-晶核生长与热场耦合多尺度模型、原位管癌微分方程模型。针对这类可计算抛物型偏微分方程模型，含确定性模型和随机模型，进行了模型的适定性分析，获得了系列理论结果。..针对这类可计算抛物型方程模型，提出了参数优化决定反问题，包括功能服装参数优化决定、结晶率-晶核生长速率识别、原位管癌参数识别、基于抛物性方程模型的含有慢因子投资组合参数确定、基于分数阶协方差的改进PCA方法及人脸图像特征提取。进行了反问题解的条件适定性研究，获得系列理论结果。..开展了正问题、反问题的数值算法研究，获得了有效、收敛快算法，如半线性抛物性方程自由边界问题的高阶紧致格式；获得了正则化算法与Beyes统计推断之间的更加深刻的刻画，并成功运用于多孔介质热湿耦合反常扩散随机模型、晶体生长与集聚的随机模型、原位管癌微分方程模型中。..本项目在工业问题的创新建模、反问题的最优正则化算法和统计推断算法创新方面获得了有价值的模型、有创新的理论、高精度的算法。在国内外应用数学与计算数学、反问题与交叉学科的重要杂志上，发表论文16篇（标注基金号11871435），其中10篇在核心刊物上发表。出版专著《微分方程和反问题模型与计算》（科学出版社，2021年2月；ISBN：978-7-03-067029-8）、《数据建模与计算案例》（科学出版社，2023年6月；ISBN：978-7-03-074739-6）。与上海嘉麟杰纺织科技有限公司、北京服装学院、东华大学的合作成果《冬奥制服多功能起绒面料的开发及产业化研究》获得中国纺织工业联合会2022年科技进步奖二等奖。..该项目开辟了功能服装智能设计新研究方向，为工业问题创新建模和反问题数值计算展示崭新前景。