稳定同调与Gorenstein微分分次代数

In this project, we study stable homology theory, and study Gorenstein differential graded algebras using stable homology, which will give applications of stable homology in differential graded algebra. We will study the relationship between stable homology and Mislin's complete homology, and then give a universal property for stable homology and solve the Triulzi's question whether complete homology is a homological functor. We will study the relationship between stable (complete) homology and Tate homology, and then further study the Holm conjecture which claims that all Gorenstein projective modules are Gorenstein flat. We will give some characterizations of modules of finite (Gorenstein) homological dimension using vanishing of stable homology, and then give homological characterizations of rings. We will give some characterizations of Gorenstein differential graded algebras using stable homology, and then describe homological properties of Gorenstien differential graded algebras. The above studies are important for further enriching and developing homological algebra and (co)homology theory.

本项目研究稳定同调理论，并借助稳定同调研究Gorenstein微分分次代数，继而给出稳定同调理论在微分分次代数中的应用。我们将研究稳定同调与Mislin的完全同调之间的内在联系，进而给出稳定同调的泛性质并解决Triulzi的问题“完全同调是否是同调函子”；将研究稳定（完全）同调与Tate同调之间的关系，并借此研究Holm猜测“所有的Gorenstein投射模都是Gorenstein平坦的”；将借助稳定同调的vanishing性刻画同调维数有限及Gorenstein同调维数有限的模，继而给出环的同调刻画；将借助稳定同调给出Gorenstein微分分次代数的刻画，进而揭示Gorenstein微分分次代数的同调性。上述研究对于进一步丰富和发展同调代数理论，特别是（上）同调理论具有重要的意义。

本项目研究稳定（上）同调理论及其在Gorenstein同调代数以及微分分次代数中的应用。我们研究了稳定（上）同调以及Gorenstein（上）同调的性质，如平衡性和vanishing性，借助这些性质刻画了同调维数有限以及Gorenstein同调维数有限的模和复形，继而给出了环的同调刻画；研究了unbounded同调与Gorenstein同调之间的关系，继而借助AM-正合序列给出了稳定（完全）同调与Tate同调之间的关系；借助稳定函子在Grothendieck范畴中给出了稳定上同调的相对情形的定义，研究了它的性质，并研究了它与完全上同调之间的内在联系以及它在微分分次模范畴中的应用；借助稳定同调给出了经典的Auslander深度公式成立的一个新充分性条件；将模型范畴理论的思想方法引入到稳定（上）同调理论的研究中，借助模型范畴理论中双纤维替换的思想方法找到了Gorenstein平坦维数的一类“加细”，并给出了在Tate上同调（稳定上同调）理论中的应用，利用Hovey三元组构造完全分解计算了模的Tate同调（稳定同调），并在箭图表示范畴上构造了一个遗传的阿贝尔模型结构。