微分分次代数的recollement及Gorenstein对称猜想

Differential graded algebra, originating from commutative algebra and algebraic topology, is becoming an increasingly important tool in algebra. This project mainly studies recollements of differential graded algebras and Gorenstein symmetry conjecture. We will consider the questions as follows: (1) discuss the idempotents for nonpositive differential graded algebras whose cohomologies are pointwise finite, and observe the construction of their recollements, which will lay foundation for the reducing technique of recollements of differential graded algebras; (2) prove the existence of standard recollement for differential graded algebras, and show that the standard recollement can induce those of tensor product algebras and opposite algebras respectively. These will be useful for clarifying the relationship between recollements of differential graded algebras and smoothness (resp. homologically smoothness, Hochschild cohomology) of algebras; (3) reduce and prove the Gorenstein symmetry conjecture by recollements of differential graded algebras. The research results are expected to enrich and perfect the Gorenstein theory, differential graded algebra and its recollement.

微分分次代数起源于交换代数和代数拓扑，现已成为一个重要的代数工具。本项目围绕微分分次代数的recollement与Gorenstein对称猜想展开，主要考虑以下问题：（1）讨论上同调局部有限维的非正微分分次代数上的幂等元及其recollement的构造，为微分分次代数的recollement约化方法奠定基础；（2）证明微分分次代数上存在标准recollement、标准recollement可诱导其张量积及反代数上的recollement，为研究微分分次代数的recollement与光滑性（同调光滑性及Hochschild上同调）间的关系提供依据；（3）通过微分分次代数的recollement来约化并证明有限维代数的Gorenstein对称猜想。本项研究成果有望对微分分次代数及其recollement理论、Gorenstein理论的丰富和完善做出贡献。

范畴化是当今代数表示和同调理论的主流，而范畴的recollement则是其中的主要工具。Gorenstein对称猜想是代数表示论中的重要猜想，随之发展起来的Gorenstein同调代数理论已逐渐成为一个新的研究方向。本项目主要研究Artin代数的导出范畴的recollement及Gorenstein同调代数中的相关问题，主要进展如下：证明了CM有限代数的无界导出范畴的4-recollement可诱导其φ-Cohen-Macaulay Auslander代数上的2-recollement；证明了有限维代数的Auslander-Reiten猜想及Gorenstein投射猜想可通过导出范畴的recollement进行约化；给出了导出范畴的recollement中商函子为终将一致同构的判别条件，并在此情形下讨论了代数的Gorenstein性、奇点范畴及Fg条件的变化；将Artin代数的无界导出范畴的1-recollement、2-recollement用其有界子范畴的上(下)recollement来刻画，并阐明了导出范畴的上(下)recollement与代数的整体维数(有限维数)的有限性之间的关系。本项目研究结果加深了对导出范畴的recollement及Gorenstein同调代数的理解，并为Auslander-Reiten猜想、Gorenstein投射猜想及Fg条件提供了约化方法，在一定程度上促进了代数表示论的发展。