Tate-Vogel（上）同调理论及其应用

In this project, we study Tate-Vogel (co)homology theory and its applications. We will give some relations between Tate-Vogel (co)homology theory and the pinched homological algebra theory. Then we will provide some new methods for computing Tate-Vogel (co)homology so that we can study balancedness of Tate-Vogel (co)homology over arbitrary associative rings; We will study the relations between Tate-Vogel homology and Tate homology, and then we will prove a universal property for Tate homology and solve Holm's conjecture which shows that all Gorenstein projective modules are Gorenstein flat; We will study the classical depth formula by using Tate-Vogel homology theory so that this formula can be used well for modules that may have infinite projective dimension, complete intersection dimension, Gorenstein dimension, etc.. Then we will give some applications of Tate-Vogel homology theory in local algebra. In this project, there are new questions and theories as well as new ideals and methods. The project is important for enriching and developing Homological Algebra and Commutative Algebra.

本项目研究Tate-Vogel（上）同调理论及其应用。将揭示Tate-Vogel（上）同调理论与pinched同调代数理论之间的关系，给出计算Tate-Vogel（上）同调的新方法，进而在任意环上研究Tate-Vogel（上）同调的"平衡性"；将深入研究Tate-Vogel同调与Tate同调之间的内在联系，进而给出Tate同调的"泛性质"，并解决Holm猜测"所有的Gorenstein投射模都是Gorenstein平坦的"；将借助Tate-Vogel同调理论研究经典的Depth公式，将这一公式的研究拓展到任意模上（不一定要求其投射维数、完全交维数、Gorenstein维数等有限），进而给出Tate-Vogel同调理论在局部代数中的应用。在本课题的研究中，既有新问题、新理论，又有新思想、新方法。这对于丰富和发展同调代数和交换代数具有重要的意义。

本项目研究Tate-Vogel（上）同调理论及其应用，重点研究Tate-Vogel同调理论在局部代数中的应用以及与Gorenstein同调理论之间的关系。主要研究成果如下：(1) 在交换Noether环上研究了Tate-Vogel同调的vanishing性和平衡性，开创性地仅借助Tate-Vogel同调的vanishing性便给出了Gorenstein维数有限的模的刻画，继而在局部代数上给出了正则环、Gorenstein环及Cohen-Macaulay环的刻画。(2) 研究了Tate-Vogel同调与Tate同调之间的关系，证明了当Tate同调有定义时，Tate-Vogel同调与Tate同调同构当且仅当所有的Gorenstein投射模都是Gorenstein平坦的。同时研究了Tate-Vogel同调与pinched复形之间的关系，借助pinched复形给出了Tate-Vogel同调的新的计算办法。(3) 研究了Tate-Vogel同调与完全同调之间的关系，证明了在Artin代数上，或交换的Gorenstein环上，或交换Noether完备局部环上，有限生成模的Tate-Vogel同调与完全同调是自然同构的。(4) 借助复形的工具证明了在任意环上所有模都有Gorenstein平坦预覆盖，将经典的“平坦覆盖猜测”推广到了Gorenstein同调代数中。(5) 研究了无界复形的Gorenstein维数的（余）基变换，改进了已有的结果。(6) 研究了局部同态上复形的complete intersection维数，并借助其有限性刻画了complete intersection环，证明了Sather-Wagstaff定理的“逆”仍然成立。(7) 给出了Gorenstein投射模的一个刻画，并借此研究了Gorenstein同调代数中的若干公开问题。(8) 进一步研究了投射生成子和内射余生成子的性质，给出了模范畴中投射生成子（内射余生成子）与复形范畴中投射生成子（内射生成子）之间的关系。(9) 通过在Cartan-Eilenberg Gorenstein范畴中引入投射生成子和内射余生成子的概念，研究了Cartan-Eilenberg Gorenstein范畴的稳定性。