导子的常数环和Darboux多项式

This project aims to study Darboux polynomials and the ring of constants of derivations and the integrability of some systems by using derivations and Darboux polynomials. First, we will study the ring of constants and Darboux polynomials of monomial derivations by using classical methods of polynomial derivations and group action theory. On the other hand, we will embed the polynomial algebra into the free Poisson algebra, and study the ring of constants and Darboux polynomials of derivations by using the free Poisson algebra and Poisson brackets. Further, we will also continue the study of the structures of Poisson algebras and the integrability of some Poisson systems and Hamiltonian systems by using some methods in the theory of derivations and Darboux polynomials.

本项目旨在研究多项式导子的Darboux多项式和常数环，以及利用导子和Darboux多项式研究一些物理系统的可积性。一方面利用经典的多项式导子理论和群作用理论研究多项式环上的单项式导子的常数环和Darboux多项式；另一方面，通过将多项式代数提升到Poisson代数上，利用提升后的Poisson结构研究多项式代数上的一般导子的常数环和Darboux多项式；进一步，利用多项式导子和Darboux多项式的工具，研究一些物理系统的可积性，例如Poisson系统和Hamilton系统等。

导子的Darboux多项式是处理多项式(或有理函数)微分系统的十分有用的代数工具。如果将多项式(或有理函数)微分系统与导子相结合。那么，对应的导子存在Darboux多项式是对应微分系统有多项式首次积分，有理首次积分，甚至Liouville首次积分的必要条件。另一方面，没有Darboux多项式的导子可以用来构造Weyl代数上的不可约的不完整模、构造非交换的单环和单Lie环等。但是，构造没有Darboux多项式的导子的例子是一个十分困难的问题。本项目考虑了三元多项式环上的单项导子，给出了它们没有Darboux多项式的充要条件。具体地说，三元多项式环上的一个单项导子没有Darboux多项式当且仅当它是一个常数环平凡的严格导子，并且我们给出了其没有Darboux多项式时具体的数值条件。我们还证明了四元多项式环上由Moulin Ollagnier 和Nowicki构造的一个导子没有Darboux多项式当且仅当其常数环是平凡的。. 自由泊松代数和多项式代数、自由结合代数、自由李代数密切相关。自由泊松代数和泊松括号的工具最近被用来解决仿射代数几何领域的一些公开问题。Shestakov和Umirbaev解决仿射代数几何领域中著名的Nagata猜测的方法就是将多项式环嵌入到具有相同生成元的自由泊松代数中，并把泊松括号作为一个附加的工具，最后证明了Nagata猜测。自由泊松代数和上面的导子和自同构最近吸引了许多数学工作者的兴趣。在本项目中，我们给出了多项式代数和辛泊松代数上的导子之间的联系，并给出了二元Jacobi猜测在二元辛泊松代数上的一个等价描述。 另外，Shestakov和Umirbaev证明Nagata猜测时利用泊松括号给出了一个不等式，作为Shestakov-Umirbaev不等式的应用，我们给出了一组等差数列何时能够成为三元多项式代数上的tame自同构的多重次数的判定条件。