基于连续观测样本的卡尔曼滤波系统的统计问题研究

The filtering theory for dynamic system has developed from the beginning of the last century, since then it has made great progress. The Kalman filtering is an important topic in control theory and control system engineering. The application of the model could not be separated from the statistical problems such as data acquisition, statistical modeling, hypothesis testing and so on. This work researches the statistical problems for filtering system, basing on the theories of stochastic analysis, applying the methods of statistics for stochastic processes. .The difference for other models is on the continuous observations. For continuous observations, the methods to resove the statistical problems and the asymptotic properties of the statistics are all different from the normal discret models. With the development of the current techniques, the extensive realization of large data makes the calculation of the discrete sample model too complex. On the contrary, the existence of a large number of data provides an opportunity and condition for the application of the continuous observation process. This is the original driving force for what we provide the statistic models on continuous observations. We will construct statistical models，estimate the unknown parameters or unknown coefficients; To be more important the asymptotic properties under different asymptotic conditions will be discussed in applying the stochastic analysis theories. The research will provide a new solution for the practice of large data information in the future..

动态系统的滤波理论从上世纪开始萌生发展，至今已取得了很大的进展。卡尔曼滤波是控制理论以及控制系统工程中的一个重要课题。模型的实际应用离不开实践中数据的采集、统计建模、假设检验等统计问题。本课题旨在应用随机分析的相关理论，采用随机过程的统计方法，研究滤波的统计问题。本课题提出的统计模型特色在于连续的观测过程，连续观测过程的引入使得统计问题的解决方法和统计量的极限研究都与一般离散观测有较大差别。当前技术手段的发展，大数据的广泛实现使得离散样本模型在处理数据时计算繁琐，在统计性质的研究上也有所局限。反之大量数据的存在为连续观测过程的应用提供了契机和条件，这是本课题提出研究连续观测样本统计问题的原始驱动力。我们将建立统计模型，通过参数估计或非参数估计确定未知量；进一步地讨论在不同的渐近状态下统计量的渐近性质。课题的研究成果将为未来的大数据信息处理的实践提供新的解决方案。

项目从参数估计、非参数估计、假设检验三个角度研究了卡尔曼滤波的统计问题，其中观测样本{X_t,0≤t≤T}是连续过程。.对参数估计问题，项目研究了一步极大似然“估计过程”。研究结果表明该估计具有优秀的统计性质——相合性、渐近正态性、渐近有效性等，更重要的是估计值具有强大的应用价值——有显性表达式且易于计算、能够随观察样本的增加对估计值进行调整。.非参数估计方面，我们首先给出了不可观测过程{Y_t,0≤t≤T}的估计。研究表明该估计同样具有优秀的统计性质，结合参数估计的结果我们得到了估计值的显性表达形式，使得该估计同样便于计算且易于调整，这大大降低了应用的局限性。另外，我们研究了未知参数的核估计问题。分析表明理论上核估计具有很好的统计性质，局限性在于没有一般的显性表达式使得实际应用具有一定的困难。.基于上述参数估计和非参数估计的结果我们研究了模型的假设检验和拟合优度检验问题。对相应的原假设和备择假设，定义了检验函数并验证该检验犯第一类错误的概率趋于给定的检验水平，且检验具有相合性，即犯第二类错误的概率趋于0。