非线性系统的非局域的对称和约束及求解研究

Constructing solutions for nonlinear systems is very important and a hot research area. The studies of mathematics mechanization open a new window for automated reasoning. The harmonic combination of symbolic and numerical computation is the main character for nonlinear problems. In this project, a thorough study will be carried out on nonlocal symmetries, nonlocal constraints, exact solutions and high precision numerical solutions for nonlinear systems. On the basis of some classical methods, such as Darboux transformation, Backlund transformation, Bilinear method, etc, nonlocal symmetries and their localization methods will be explored for nonlinear systems. Some important relationship and potential real physical applications will be uncovered for nonlinear science. We shall study the theories and methods for nonlinear constraints, give some new types of solutions or solutions' structure for some integrable systems, reduce integrable systems to nonlinear ordinary differential equations (ODEs) and obtain high precision numerical solutions of integrable systems by solving these ODEs. We shall propose a trustable and high precision numerical method for approximately integrable systems. By studying the theories, algorithms and applications for the above problems, some new principals and tools will be provided for real problems. Some breakthrough applications for mathematics mechanization will be expected in nonlinear science, such as optical soliton communication, Bose-Einstein condensation, fluid mechanics, etc.

)：非线性系统的求解研究在非线性科学中极为重要,是国际上热门且前沿的课题。数学机械化的研究为国际自动推理的研究开辟了新的前景，符号和数值计算有机结合已成为研究非线性问题的主要特征。本项目将深入研究非线性系统的非局域对称、非局域约束、精确解和高精度数值解：基于达布变换、贝克隆变换、双线性化等经典方法，探索非线性系统的非局域对称及其局域化方法，揭示非线性科学中一些深层次的内在联系和可能的实际物理应用；深入研究非局域约束理论和方法，给出若干可积系统的新的类型的解或解的结构；把可积系统约化为非线性常微分方程组，通过数值求解这些常微分方程组，获得可积系统的高精度数值解；研究近可积系统，发展一个高精度、可信的数值求解方法。从理论、算法和应用上深入研究上述问题，为实际问题的解决提供新的原理和工具，为数学机械化在非线性领域、如光孤子通信、玻色-爱因斯坦凝聚、流体力学等领域的应用打开新的突破口。

非线性系统的求解研究在非线性科学中极为重要,是国际上热门且前沿的课题。 本项目从理论、算法和应用上深入研究了求解非线性系统的若干问题，为实际问题的解决提供了一些原理和工具，取得了如下一些成果：.(1) 基于符号计算，Lie群和孤子理论中的Painleve分析、Lax对和双线性方法等理论和方法，研究了若干非线性系统的非局域对称、非局域约束和精确解。获得了变 式 KdV方程、(2+1)-维破裂孤子方程，(2 + 1)-维Gardner方程，(2+1)-维KdV–mKdV方程, 变式Boussinesq方程等的非局域对称和丰富的精确解。将非局域的留数对称局域化后，得到了非局域留数对称有关的几种类型的相似解与约化方程，进而动力学分析和数值模拟研究了方程的孤立波与椭圆周期波的相互作用机制。..(2) 基于Bell多项式理论研究了(2+1)-维变系数Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada方程的可积性，系统地构造该方程的双线性形式，双线性Backlund变换，Lax 对和无穷多守恒律，得到了系数之间的可积约束条件和构造了该方程的N孤子解。基于Painleve截断和相容tanh展开法获得了(2+1)-维破裂孤子方程和变式Boussinesq方程的孤立波和椭圆周期波的相互作用解,利用传统的方法这些解很难得到。..(3) 利用双线性方法和长波极限方法，我们获得了Benjamin Ono 方程和具有PT(Parity-Time)对称势的（2+1）维非线性薛定谔方程的呼吸子解和怪波解。论文中提出的方法对最近非常热门的非局域非线性系统怪波的研究具有较重要意义，为进一步研究其他非局域非线性系统的各种精确解和动力学特性提供一种途径和方法。..(4) 基于相似变换与数值模拟，构造了两个耦合动力非线性薛定谔方程的各种新颖的精确解。研究了外势中通过受激拉曼绝热通道耦合的原子-分子凝聚体的暗态解，所得理论结果对原子-分子凝聚体中的暗态解的实验实现提供了一种途径。研究了外势中具有自旋轨道耦合的自旋-1 的凝聚体基态结构和量子相变，所得结果为我们控制旋转超冷原子气体开拓了一种新方法。