非线性系统的非局域对称、守恒律及相关研究

Traditionally, people use Lie point symmetry methods to study nonlinear problems. In fact, one can also get interesting results by using non-local symmetry to study integrable system. This program taking non-local symmetry as center will carry out the following studies: ① First obtain the non-local symmetries through Bӓcklund transformations, inverse recursion operators, conformal invariant form of nonlinear system, then localized it into a Lie point smmetry in a new enlarged system. On this basis, study the interaction properties between solitons and nonlinear waves (cnoidal wave, Painleve wave, etc.) by using symmetry reduction method. ② Once the single non-local symmetry is localized, enlarge the system further to localize linear superposition of any number of non-local symmetries and then get arbitrary fold Bӓcklund transformations of nonlinear system. ③ Use the spectral parameter appearing in non-local symmetry to expand related variables and consider the consistent conditions of auxiliary functions to get infinitely many non-local conservation laws of corresponding nonlinear system. This program will enlarge the symmetry theory to tackle more nonlinear problems and offer theoretical foundation for possible physical applications.

传统上人们主要利用点李对称研究非线性问题，实际上，对于一般的可积系统，利用非局域对称同样可得到非常有意义的结果。本项目将围绕非线性可积系统的非局域对称开展以下研究：① 从非线性系统的 Backlund 变换、逆递推算子、共形不变形式等途径中得到相应的非局域对称，将其在新系统中局域化后，利用对称约化方法研究孤立子与非线性波（如椭圆周期波、Painlevé 型波等）的相互作用等重要问题；② 在单个非局域对称局域化的基础上，将非线性系统进一步扩大，使得任意个非局域对称的线性叠加局域化为点李对称，由此获得非线性系统的任意次 Backlund 变换；③ 利用非局域对称中出现的谱参数，将相关变量进行参数展开，由辅助函数的相容性条件得到非线性系统的无穷多非局域守恒律。本项目的研究将丰富对称理论，有助于利用对称方法解决更多的非线性问题，为可能的物理应用提供理论参考。

对称研究在数学物理相关问题的探讨中起着至关重要的作用，该项目围绕非局域对称对若干重要非线性系统做了相关研究。通过将非局域对称局域化为点李对称，利用经典李群方法得到了若干非线性系统的与相关非局域对称有关的新的近似对称方程和约化解。该类型的对称约化解包含了原系统的丰富的孤立波的相互作用模式，其中包括传统上难以求解的孤立子与非线性周期波的相互作用解。通过CRE方法研究了若干非线性方程，也得到了孤立子与非线性波的相互作用解。但该种类型的相互作用模式远没有通过对称约化得到的相互作用解复杂。通过将任意个非局域对称的局域化得到了若干非线性系统的N次贝克隆变换，通过该变换得到了一些新的孤子解。该项目的实施对利用对称研究非线性系统注入了新的活力。