非线性物理中多种暗方程及其可积性、对称性和求解研究

In the booming development of nonlinear physics, establishing more appropriate mathematical physical equation for revealing the essentials of nonlinear phenomena and solving nonlinear problems are always the core problems in the research of mathematical physicists. Analogy to the concept of dark matter in cosmology, the famous mathematical physicist Kupershmidt proposed the concept of dark equation in nonlinear equations, which refer to various extensions or constraints of nonlinear equations. In this project, a thorough study will be carried out on third types of dark equations and their integrability, symmetry properties and exact solutions. Based on Kupershmidt’s idea on dark equations and higher order symmetries, we will establishe some dark equations of linear or nonlinear extensions for classical integrable systems; By developing some direct methods with symbolic computation, we will give some dark equations for supersymmeric equations; Through the invariability under parity reversal, time-space reversal, delayed time reversal, etc, some new Alice-Bob systems will be established. Then we will focus on Lax pair, recursion operators, symmetries, soliton solutions, rogue waves and their interactions by some effective methods in integrable systems. Through deeply studying the theories, methods and applications for the above problems, some new principals and tools will be provided for real problems. Finally, some important inner relations and essentials will be unconvered for nonlinear physics and some new results will be expected.

在非线性物理研究日益蓬勃发展的过程中，构建更适当的数学物理方程和求解非线性问题始终是数学物理学家研究的核心问题。类比于宇宙学中暗物质概念，著名数学物理学家Kupershmidt提出了非线性方程的暗方程概念，泛指非线性方程的各种扩展或约束。本项目将深入研究非线性物理中三类暗方程的构建及其可积性、对称性与求解：基于Kupershmidt暗方程思想和非线性方程的高阶对称构建经典可积系统线性或非线性扩展的暗方程, 发展基于符号计算的直接构造方法建立若干超对称方程的暗方程和基于宇称反演, 时空反演及电荷共轭等对称不变性构建新的Alice-Bob系统；进而运用可积系统中若干有效方法重点研究三类暗方程的拉克斯对、递归算子、对称性、孤子解、怪波解及相互作用等。从理论、方法和应用上深入研究上述问题，为实际问题的解决提供新的原理和工具，进而揭示非线性物理中一些深层次的内在联系和本质，获得更多的新结果。

本项目从理论、计算方法和应用上深入研究了非线性物理中若干暗方程和若干重要非线性系统的可积性、对称性与求解问题，为实际问题的解决提供了一些新的原理和工具，揭示了非线性物理中一些深层次的内在联系和本质，获得了一些创新性的结果：.(1)基于Kupershmidt暗方程思想和非线性方程的高阶对称构建了一些经典可积系统线性或非线性扩展的暗方程，获得了研究方程的对称方程、对称对偶方程等。进而基于符号计算我们建立一个直接方法构造了所得暗方程的递归算子。这一构造性方法可以应用于其它非线性系统的暗方程的构造及对称性的研究；基于初等和二元Darboux变换以及相关的Backlund变换，构造了全离散系统和半离散系统；证明了Jordan块型可积拟线性系统可由modified Kadomtsev-Petviashvili族的解参数化表示。.（2）研究了若干重要非局域非线性系统可积性与求解：构建了时空反演的非局域b-类方程和Novikov方程及其N-Peakon解；研究了几个非局域系统的非线性局域波及其动力学性质。.（3）基于符号计算和Darboux变换、Hirota双线性方法，长波极限方法，共振激发等理论与方法，获得了若干非线性系统的有理解、半有理解、怪波解、Lump解、呼吸子解、Positon解、Y-型孤子解、各种类型的孤子分子等，并研究了这些解之间的相互作用及其动力学性质。.（4）基于物理信息神经网络（PINN）模型，研究了具有广义PT对称Scarf-II势的非线性薛定谔方程的初边值问题；提出了一种新的神经网络结构-梯度优化PINN算法(GOPINNs)，该工作为优化神经网络的学习性能提供了新的见解，在深度学习求解具有实际物理背景的非线性PDEs的初边值问题方面具有重要意义。