非线性系统的拉克斯对、对称性及求解研究

本项目将基于符号和数值的计算机处理方法，研究非线性系统的机械化求解及其应用。具体包括四个方面：一，研究非线性系统有用Lax对、对称性和精确解的理论和方法，提出和发展求解非线性系统Lax对、一般对称群和精确解的机械化算法；二，研究近可积非线性系统的数学结构，发展一个高精度、可信的数值计算方法；三，编制相应的符号和数值计算自动推理软件，并以此获得若干重要非线性系统、包括离散系统和超可积系统的Lax对、一般对称群和有意义的各种类型的精确解和数值解；四，对所得精确解和数值解进行应用研究，通过数值模拟与动力学分析，解释非线性系统所对应的物理现象与预测一些新的物理。从理论、算法和物理应用上对以上问题进行深入研究，为实际问题的解决提供新的原理和工具，为数学机械化在非线性领域、特别是在凝聚态物理与非线性光学等领域的应用打开新的突破口。

该项目主要就非线性科学中非线性系统的拉克斯对、对称性、精确解、数值解及其相关问题展开研究。基于可积系统理论，提出了构造半离散系统一种性质很好的拉克斯对---递归算子和无穷多守恒律的方法，并获得了一些半离散系统的递归算子和无穷多守恒律，并对前几个守恒律进行了数值验证；给出了两个超对称方程的递归算子。基于符号计算，提出了求解非线性系统精确解的一些直接方法和子方程展开法，并利用这些方法研究了若干玻色-爱因斯坦凝聚、非线性光学等热门领域出现的重要非线性系统的精确解，通过理论和动力学分析，解释了方程所对应的物理。基于孤子理论和李群理论，获得了一些重要非线性系统的经典李对称、有限对称变换群、相似变换及相应的精确解，并讨论这些解在实际物理中的应用。利用不变流形方法，对Ito方程进行了高精度数值研究。这些结果一方面对求解非线性系统的递归算子、精确解、数值解和研究系统的对称性提供了一些新的思想和方法，促进了偏微分方程、数学物理和计算机代数等相关学科的交叉和发展；另一方面对玻色-爱因斯坦凝聚中物质波孤子的管理以及非线性光学中光孤子的实验开辟了新的方法和途径。总之，在本项目研究期限内完成了项目的预定目标，共发表论文21篇论文，其中17篇被SCI收录，4篇被EI收录，成果达到了国际水平。