若干自由边界值问题

Traveling waves solutions of reaction diffusion equations arise and play an important role in various fields such as biology, population dynamics, ecology and combustion.While existence and possible uniqueness of traveling waves in homogenous case are well known, it is nature to ask whether these theories can be extended to heterogeneous reaction-diffusion equations. One aim of this program is to study the existence and uniqueness of generalized traveling waves of a class of reaction-diffusion equations with free boundaries in one-dimensional heterogeneous medium. We also study the regularity of critical points of an Area-Dirichlet functional which is closely associated with some free boundary problems and minimal surface theory. The aim is to establish partial regularity of the free boundaries and uniqueness of blow-up limits at possible singular free boundary points.

反应扩散方程的行波解源于生物学, 种群动力学, 生态学以及燃烧等众多学科的研究当中并扮演重要角色. 齐性反应扩散方程行波解的存在性以及可能的唯一性得到了系统的研究, 很自然地人么希望知道这些结果是否能够推广到一般的非齐性的情形. 本项目的一个目标就是要研究不规则介质中一类带自由边界的反应扩散方程的行波解的存在性以及唯一性. 我们还将研究一个Area-Dirichlet泛函临界点的正则性, 这一泛函于很多自由边界值问题以及极小曲面理论密切相关. 主要目标是建立临界点的自由边界的部分正则性以及奇异自由边界点处的blow-up极限的唯一性.

本项目主要研究几类自由边界值问题。主要的结果有：（1）建立了非均匀介质中一类带自由边界反应扩散方程问题的随机行波解的存在性。（2）研究了一类带对流和自由边界的反应扩散方程问题的解的渐渐行为。（3）研究了一个线性二阶椭圆问题的主特征值在扩散系数趋向于零或无穷大时的极限。（2）证明了一个椭圆边界爆破问题多解的存在性。