带加法噪声各向异性密度函数的自适应小波估计

The anisotropic density estimation with additive noises is one of the important bases in statistical inference and plays important roles in pattern recognition, econometrics, biological statistics and so on. Wavelets characterize complex functional spaces and provide the thresholding estimators for density functions, since the important properties such as the multiresolution decomposition and time-frequency localization. Wavelet analysis has been successfully applied to that problem in one dimensional setting, and adaptive wavelet estimators with additive noises attain the optimal convergence rates. .Based on those observations, this project aims to study wavelet density estimation in anisotropic Besov spaces. Firstly, one will characterize anisotropic Besov spaces. Secondly, we try to give adaptive wavelet density estimators by choosing proper wavelet basis, smooth parameters and thresholding functions, and discuss the convergence rates of density in global senses under both noises. Finally, we shall provide optimal analysis of adaptive wavelet estimators in those cases.

带加法噪声各向异性密度函数估计是统计推断的重要依据之一，它在模式识别、计量经济学、生物统计等领域发挥关键作用。小波的多尺度和时频局部性质使得它能够刻画复杂的函数空间，并给出相应密度函数的阈值估计。该方法已经在一维加法噪声密度模型中取得了显著成效，给出了最优和自适应的收敛结果。.本项目拟在各向异性Besov空间中利用小波分析研究带两类噪声的密度函数估计问题。首先，给出各向异性Besov空间的小波刻画。其次，选取合适的小波基、光滑参数和阈值函数等构造自适应的密度估计器，并讨论其在两类噪声影响下的整体收敛速度。最后，分析自适应小波估计器的最优性。

小波分析在统计估计、信号处理、量子力学等领域具有广泛的应用。本项目研究了二维各向异性Besov空间中小波密度估计问题。构造了各向异性Besov空间中的小波密度估计器，并给出了该估计器的收敛速度。考虑了Supersmooth函数空间中小波带加法噪声密度估计器的收敛性与最优性。通过Shannon和Meyer小波函数得到了线性密度函数估计器，并证明其在一定条件下可以达到最优或次优。在混合Lebesgue空间中，利用Wiener空间中的生成元给出了平移不变子空间的定义，并说明其合理性。证明了在生成元频域无零点的条件下平移不变子空间中函数的稳定性。讨论了有限多个生成元整平移稳定性的充要条件，得到了混合Lebesgue空间中的Young不等式。利用生成元与序列的半卷积刻画了混合空间中的平移不变子空间，并证明了混合空间中平移不变子空间是由生成元和序列的半卷积所生成空间与混合空间的交。讨论了混合空间平移不变子空间中非一致采样与重构。对于混合空间中的强可分离采样点，证明其在非一致采样问题中的稳定性。对于足够稠密的采样点给出了快速迭代算法，并证明该迭代函数在混合范数意义下是收敛的。考虑了能量有限序列和平移不变子空间中的周期非一致动态采样问题。给出了能量有限信号可利用动态采样重构的充要条件，讨论了平移不变子空间中函数可稳定恢复的充要条件。考虑了动态Gabor采样的可相位恢复问题和不规则样条空间中的无相位采样问题。给出了仿射Fourier变换域中的测不准原理。