基于负相协随机数据的带加法噪声密度函数的小波估计

Density estimation is an important aspect in nonparametric statistic and plays important roles in statistical inference. In practice, the observed data are often contaminated by noise. The common noisy model is the addtive noise, which is applied widely to aerospace, medical,economitric and so on. The traditional density estimation is the kernel method.However, the kernel method didn't give optimal estimates when the density function has multiple peaks or fractional smoothness, because of the defect of kernel function. The wavelet method could avoid those defects, since the multiresolution decomposition and characterizations for functional spaces of wavelets.In addition, wavelets could provide fast algorithm, which is important in engineering field. The wavelet method has made remarkable achievements in unnoisied model.This project aims to study applications of wavelet method in the additive noisy model. First, we will attempt to construct optimal wavelet estimates for density by using wavelet thresholding method based on negatively associated sample. Second, we try to define wavelet estimators for density derivatives by using nonstandard form of differential operators. Moreover, we will discuss the optimality of wavelet estimations over Besov spaces and Sobolev spaces with integer exponents.

密度估计是非参数统计的重要研究方向，它在许多统计推断的中间环节发挥关键作用。在实际应用中，人们观测到的数据常带有误差，即通过随机试验获取的是带噪声的数据。最常见的噪声模型是加法噪声模型，它在航天、医学、经济学等众多领域中有着广泛应用。传统的密度估计方法是核方法，但由于核函数条件的限制，使得核方法不能提供具有多峰性或具有分数阶光滑性密度函数的最优估计。小波的多尺度分解及其对函数空间的刻画等特性使得小波方法可以弥补上述缺陷，且小波具有快速算法，这在工程领域中有着重要意义。 小波方法在不带噪声的密度估计问题中已取得了显著成效。本项目拟研究小波方法在带加法噪声密度估计模型中的应用。首先，基于负相协随机样本，利用小波及阈值方法尝试构造带加法噪声的密度函数的最优小波估计；其次，基于微分算子非标准型表示构造密度导函数的小波估计，并讨论其在Besov空间及整数阶Sobolev空间中的最优性。

本项目按计划研究了非参数密度估计问题，该问题在许多统计推断问题的中间环节发挥重要作用。传统的核估计提供了整数阶Sobolev空间中的密度的最优估计。但由于核函数条件的限制，使得传统核方法不能很好地估计具有分数阶光滑性的密度函数。此外，传统核估计器中只有一个窗宽，故其对多峰性密度函数的估计效果也不理想。小波的多尺度分解及其对函数空间的刻画，使得小波方法可以弥补上述缺陷。目前，小波方法在不带噪声的密度估计模型中已取得了显著成果，但其结果总是基于简单随机样本。当观测样本非独立时，尚未有文献给出密度函数估计器的最优收敛阶。. 结果1：本项目基于多元正态分布所具有的其它分布所不具备的优良性质，首次给出了一类两两正相关样本情形下的密度及其导函数估计器的最优收敛阶，添补了非独立情形下密度估计问题最优性尚未讨论的空缺，也为其它相关情形下密度估计问题的最优估计器的构造开拓了一个新的研究思路。. 另一方面，在现实问题中，人们观测到的数据常带有误差。如何去噪也是一个关键问题。小波阈值方法是一种有效的去噪手段。结果2：本项目利用小波阈值方法构造了带噪声的密度函数的非线性估计器，需要特别指出的是该非线性估计器自适应，即估计器的构造不依赖于真实密度函数的光滑性指标。自适应性的重要性在于对真实密度函数信息了解很少的情况下也能提供其有效估计，这为实际应用提供了更多的选择方案。. 结果3：上述研究内容及结果有着重要理论价值和应用前景，本项目以证券组合投资优化问题为例做了数值实例。投资方案的优劣性可通过证券在一段时间内的收益率指标验证，由于获取信息渠道的局限性，会出现部分数据混合在一起的现象，本项目借助上述自适应非线性估计器给出了判别法则，从而将数据进行了合理的类别划分。本项目基本完成原定研究内容，部分研究内容还在继续进行。