非交换空间上的向量丛与框架

本项目将研究基于C﹡-代数的非交换空间的向量丛理论和框架小波分析。在本项目的研究中，我们将寻找非交换空间上的度量数值载体和光滑C﹡-子代数上代数结构间的联系及其性质，找出得到量化度量的一般方法。对附加新的条件的量化度量，给出一些典型的非交换空间在对应的量化Gromov-Hausdorff距离下的收敛和逼近范例。我们将讨论C﹡-代数量化态空间的结构、继而给出量化态的可延拓性条件，利用这些结果最终给出非交换空间在新的Gromov-Hausdorff距离下很接近时对应的向量丛具有唯一性和可延拓性的条件。在框架小波分析方面，我们将讨论仿射子空间上的小波理论，探讨指数框架与Kadison-Singer猜想间的联系。

本项目源于量化的数学和物理中人们经常提及的一个事实：一量子空间列“收敛到”一个量子的或古典的空间。通过本项目我们将建立向量丛超结构的量子理论。在讨论算子系统和C*-代数相关结构的基础上，我们将有单位元的赋范C*-代数上具有强Leibniz等性质的矩阵Lip-范数作为非交换空间的度量特征。该度量通常可以利用C*-赋范代数到其算子双模的赋范一阶微分得到。有单位元的赋范C*-代数及其上的量化C*-度量构成了我们的量化度量空间：量化C*-度量空间。在两个量化C*-度量空间之间，我们引入了量化隧代替过去的量化桥。同时为了克服非一致有界性，我们引入了C*-代数的一个新的非交换维数：余维数。由此我们得到了非交换空间之间的新的量化Gromov-Hausdorff距离：量化距。我们证明了这个量化距确实是非交换空间之间的一个距离。利用该构造，我们得到了矩阵代数列收敛到球的合理的数学解释。在此结构下，我们证明了当两个非交换空间很接近时它们所对应的向量丛具有唯一性。对于向量丛延拓的存在性还需要进一步的讨论。在小波框架方面我们也获得了一些进展。