多元超标架小波构造及分数阶偏微分方程高精度数值解的小波方法研究

Wavelet analysis produced in the early 1980s, which has been widely used in theoretical mathematics, applied mathematics, signal processing, image processing and analysis and many other aspects. This project includes two aspects: the construction of multivariate super-frame wavelets; the wavelet methods on the high precision numerical solutions of fractional partial differential equations. For univariate 2-dilation factor, rich results on the super-frame wavelets have been obtained, but it is not the case for a general expansive matrix A because the geometry of A is more complicated. Let A be a d-order expansive matrix. In this project, the notion of frame multiresolution analysis in L^2(R^d,C^L) will be introduced and the construction of super-frame wavelets in L^2(R^d,C^L) is expected to be given. By selecting appropriate wavelet basis functions, we intend to obtain the related integral operator matrix and differential operator matrix, respectively. High precision numerical solutions for the fractional partial differential equations are expected to be given. The convergence and error analysis will also be investigated. Results obtained in this project will make further contribution to wavelet analysis, and provide a theoretical support and inspiration for practical applications.

小波分析产生于二十世纪八十年代初，被广泛地应用于理论数学，应用数学，信号处理，图像处理和分析等诸多方面。本项目包括两方面内容：多元超标架小波的构造；小波方法求分数阶偏微分方程的高精度数值解。对于一元2-伸缩的情况，多元超标架小波的研究已取得了丰富结果，但因一般伸缩矩阵几何性质的复杂性，多元超标架小波的构造研究未见报道。本项目拟给出L^2(R^d,C^L)中的标架多分辨率分析的概念，并基于此，得到多元超标架小波的构造。选取恰当的小波基函数，我们拟得到与其相关的积分算子矩阵和微分算子矩阵，从算子矩阵角度出发给出分数阶偏微分方程的高精度数值解，并作出收敛性分析和误差估计。本项目的研究结果将会进一步丰富小波分析理论，为其在实际应用中提供理论支撑与启示。

小波分析产生于二十世纪八十年代初，已被广泛地应用于理论数学，应用数学，信号处理，图像处理和分析等诸多方面，特别是其这几年在数值计算中求分数阶微积分方程的数值解问题的应用。分数阶微积分方程是整数阶微分积分方程的一个推广，有着比普通微分积分方程更广泛的应用价值，已被广泛地应用于物理，生物，化学等多个学科领域。然而，由于它的复杂性，分数阶微积分方程的精确解一般难以求得，因此，寻找并发展其求高精度数值解方法是当前比较热的研究问题之一。本项目主要研究了运用Chebyshev小波和Legendre小波配置法求解分数阶微积分方程的高精度数值解，分别给出了Chebyshev小波和Legendre小波在Caputo分数阶意义下的积分公式，基于积分公式将所研究问题转化成代数方程求解，从而大大简化了数值处理。并且为了保证所研究方法的稳定性和有效性，还给出了小波展开的收敛性分析以及逼近的误差估计。相关研究成果已以学术论文发表SCI收录论文4篇。本课题所得成果不仅一方面丰富了小波理论，另一方面为其在物理学，化学，材料学等工程应用模型中提供了数值计算支撑与借鉴。