子空间小波分析的若干问题

The study of subspace wavelet and Gabor frames is one of the hot issues of frame theory in recent years. Most frequently, the techniques involved in the study of subspace wavelet and Gabor frames are different from the techniques that are used in studying wavelet and Gabor frames for the entire space L^2(R^d). This project intends to study the following problems: in general subspaces, we construct some frame wavelets of good analysis properties (such as symmetry or anti-symmetry, regularity, compactly supported or fast decay, high vanishing moments); for a general expansive matrix, we investigate the construction and properties of wavelet frames in the setting of finitely generated affine subspaces of L^2(R^d) and the structure of affine subspaces; given finitely square integrable functions and a set of translation and modulation parameters, we study the corresponding Gabor system is a frame for its closed linear span, and discuss its dual and pseudo-dual of Gabor structure. This results will further improve and rich the frame theory for subspace wavelet and Gabor frames, and provide a theoretical reference and inspiration for the frame theory in the field of signal processing engineering.

子空间小波和Gabor标架的研究是近几年标架研究的热点问题之一。一般地，研究一般子空间中小波和Gabor标架所用的方法技巧与在全空间L^2(R^d)上研究小波和Gabor标架有很大的不同。本项目拟研究如下问题：在一般子空间构造具有一些好的分析性质（如对称或反对称性、正则性、紧支撑或快速衰减、具有高的消失距等）的标架小波；对一般伸缩矩阵，研究有限生成仿射子空间标架小波的构造和性质以及仿射子空间的结构；给定有限个平方可积函数及一组平移和调置参数，研究其对应的Gabor系是其张成闭子空间标架的条件，并研究其具有Gabor结构的对偶和伪对偶。本项目所得研究成果将会进一步完善和丰富子空间小波和Gabor标架理论，为标架理论在信号处理等工程领域的应用提供理论借鉴和启示。

小波分析产生于二十世纪八十年代初，它的产生引起了不少数学家和工程专家的极大兴趣，无论是从数学理论方面还是从工程应用领域，它都有着理论深刻及应用广泛双重意义。小波分析已经广泛应用于理论数学，应用数学，信号处理，图像处理和分析，语音识别等诸多方面。本项目研究了一维Legendre小波、二维Legendre小波和第二类Chebyshev小波及其在数值计算中的应用。利用Legendre小波求二次Riccati微分方程的数值解及定积分的数值逼近，运用第二类Chebyshev小波求对流扩散方程的数值解。得到小波积分算子矩阵的精确表示，结合配点法，给出了求二次Riccati微分方程、对流扩散方程精确度较高的数值解，及定积分近似程度高的数值逼近的方法，同时给出小波表示的一致收敛性分析及误差估计，数值算例验证了此方法的可行性和有效性。本项目所得成果不仅丰富了小波分析的理论，也为其在应用方面提供了借鉴。