分数阶小波变换基本原理研究

Classical Fourier analysis plays a fundamental role in stationary signal analysis and processing. Under the increasing extension of research objects and application scope, how to effectively analyze and process non-stationary signals has become a limitation to further improve the performance of electronic information systems. Applying advanced signal processing techniques is an effective solution to this problem. Therefore, a series of novel signal transforms have been proposed in recent years. Among of them, the fractional Fourier transform, which is developed on the basis of Fourier analysis, provides new ideas and methods for solving the problem, and it also leads to varies of new applications. By applying a free parameter-its rotation angle-the fractional Fourier transform is able to reveal all characteristics of a signal as the signal gradually translates from the time domain to the frequency domain. However, with the deepening of application research, the fractional Fourier transform has betrayed its shortcomings, e.g., it fails in obtaining information about local properties of a signal. Until now, there are still no effective ways to overcome these drawbacks in the literature. Towards this end, in this project, we find and illuminate the key properties and laws of the fractional wavelet transform. Moreover, we investigate some key issues of the fractional wavelet transform, including multiresolution analysis, construction of orthogonal fractional wavelets, fast computation algorithms, and the sampling theorem. So, the project has great theoretical significance and application value.

经典傅里叶分析奠定了平稳信号分析与处理的基础，然而随着研究对象和应用范围的不断扩展，如何解决非平稳信号的分析与处理问题成为限制电子信息系统进一步提升性能的瓶颈。一种有效的解决办法就是引入先进的信号处理技术。近年来，在信号处理领域涌现出一系列新型信号变换以解决这一问题。其中，在傅里叶分析基础上发展起来的分数阶傅里叶变换具有旋转角度的自由参数，能够展现出信号从时域逐渐变化到频域的所有特征，不但为解决问题提供了新思路、新方法，而且牵引出许多新应用。但是，应用研究的不断深入使得分数阶傅里叶变换逐步暴露出自身局限性——它无法揭示信号的局域特征，而现有文献也未能给出有效克服其局限性的方法。鉴于此，本课题从克服这一局限性出发，发现与阐明分数阶小波变换的重要特性和规律，重点研究分数阶小波变换几个关键性基础理论问题——多分辨率分析、正交分数阶小波的构造、快速算法、采样定理，具有重要的理论意义和应用价值。

傅里叶变换是信号处理中一种重要的基础工具，它提供了有别于时域的频域视角来刻画信号，奠定了平稳信号分析与处理的基础。然而，它是一种整体变换，无法刻画信号局部特征，暴露出在非平稳信号分析与处理上的诸多局限性。这些局限性反过来又成为推广乃至变革傅里叶变换的动力，推动信号处理技术不断更新发展，小波变换便应运而生。小波变换能够联合时域和频域两个视角刻画信号，具有表征信号局部特征的能力，有效克服了傅里叶变换的缺陷，牵引出许多新的应用。显然，小波变换也仅局限于时频域分析信号，对于在时频域能量非最佳聚集的信号来说，其得到的结果并不是最优的。近年来，在傅里叶变换基础上发展起来的分数阶傅里叶变换突破了时频域的局限，能够基于包括时域和频域在内的多个角度分数域对信号进行对比分析，得到“全局”意义的最优结果。然而，作为傅里叶变换的广义形式，分数阶傅里叶变换也属于整体变换，无法表征信号局部特征。鉴于此，本项目结合小波变换和分数阶傅里叶变换的优点，发现并揭示了分数阶小波变换的信号处理机理，建立了分数阶小波变换的基础理论体系。首先，在深入剖析分数阶小波变换基本性质的基础上，构建了分数阶小波变换多分辨分析理论，进而提出正交分数阶小波的构造方法，为选择、设计满足实际应用需求的分数阶小波基函数提供了基本手段。其次，建立了分数阶小波变换多分辨分析子空间上的采样理论，得到了采样误差的理论界，为基于分数阶小波变换的数字信号处理奠定了理论基础。最后，提出了分数阶小波变换数值分解算法和合成算法，为深化分数阶小波变换在实际工程中应用的深度和广度提供了理论保障。截止目前，基于项目部分研究成果，发表论文12篇，其中SCI论文8篇，EI论文3篇；申请国家发明专利1项。通过凝练和升华项目科学研究问题，新增科研项目3项，获得科研经费77万元。