自相似集的边界理论

The project is to study the invariant set of an iterated function system from the points view of graph theories and the Markov process. We study the properties of the graph induced by an iterated function system (IFS), find the condition for the graph to be hyperbolic, estimate the hyperbolic metric. For the random walk on the symbolic space of an IFS, we investigate its Martin boundary, estimate the Martin metric, the hitting distribution and the jump kernel. We set up the equivalence relation between the hyperbolic metric, the Martin metric and the Euclidian metric on fractal. This will provide a frame work to assimilate the classical geometric and analytic theories to the study of fractals. The project will provide some new directions and tools for the development of fractal geometry.

本项目从图论和马氏过程的角度研究迭代函数系的不变集的特性。我们研究迭代函数系诱导图的性质，找出诱导图为双曲图的条件，估计双曲度量。对于取值于迭代函数系符号空间的随机游动，我们研究其Martin边界，估计Martin度量、击中概率以及jump kernel。从而建立双曲度量、Martin度量和分形上的欧氏度量之间的等价关系，并在自相似集上引进经典的几何及分析理论，为分形几何的研究提供新的方向和工具。

我们研究了迭代函数系诱导的双曲图，事实上在一个更广泛的框架下建立了完备度量空间的集合的双曲图表示，研究了集合与双曲边界之间的等价性。对于迭代函数系我们证明了分离条件等价于双曲图的度有界性。而度有界性在研究图上的随机游动时是非常重要的。我么也研究了一些由迭代函数系诱导的双曲图上的随机游动，得到了随机游动的Martin边界；给出了一般情形下分形集同胚于Martin边界的充分条件。通过本项基金的资助，我们在项目执行期间共发表研究论文（均标注基金资助）15篇，其中高水平论文：Adv. Math 4篇；Tran. AMS 1篇；JFA 1篇；Math. Z. 2篇