涉及自相似集的某些问题研究

In this project we shall focus on some problems related to the self-similar sets which include the self-similar structure of Moran-type subsets of a self-similar set, the distance set of a self-similar set, and the one-sided logarithm density of the s-dimensional Hausdorff measure restricted on a self-similar set with Hausdorff dimension s and open set condition satisfied, etc. These problems were studied by lots of authors such as Falconer，Mattila，Bourgain，Mitsis, Sjolin，Hochman， Shmerkin， Orponen etc. We will explore some new properties of the self-similar sets and try to find some new methods.

本项目拟对涉及自相似集的某些问题开展研究，如自相似集的Moran型子集的自相似结构分析；自相似集上的距离集的研究及限制在自相似集（设Hausdorff维数为s，满足开集条件）上的 s－维Hausdorff测度的单边对数密度分析等问题。上述这些都是分形几何中重要的研究课题，著名学者Falconer，Mattila，Bourgain，Mitsis, Sjolin，Hochman， Shmerkin， Orponen等均在此方面开展过研究工作，具有相当的难度。通过对这些问题的研究力争发现自相似集的一些内在特有的性质，找到一些新的方法和手段，具有很强的理论意义和广泛的应用价值。

本项目围绕着与自相似集相关的若干问题开展研究探讨，这些问题包括：分形集（自相似集、自仿射集）间的Lipschitz等价性问题、自相似集（具有重叠结构）的生成迭代函数系统问题、涉及自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的维数问题、支撑在分形集上的测度的分布函数的不可微点集的维数问题、Beta展式中维数问题、Moran集合的 Assouad维数问题、Luroth展式中的问题、自相似集的有限型结构、自相似集的算术和的维数等等。对上述问题我们开展了研究探索，得到了一些结果：（1）刻画了Bedford-McMullen自仿集的一个Lipschitz等价类、给出了一类具有完全重叠的的自相似集Lipschitz等价的充分条件；（2）对一类具有完全重叠结构的自相似集，对其生成迭代函数系统给出了完整刻画；（3）对于Bedford-McMullen Sierpinski毯，我们得到了组频率落在某个给定范围内的点的集合的维数公式；（4）研究了 广义Cantor函数的不可微点集的Hausdorff及packing维数；（5）在Beta展式的研究中，我们得到了唯一码集合的Hausdorff维数、确定了能产生唯二 展式实数的最小基，研究了唯一基集合的性质、多码集的维数等；（6）确定了一类 Moran集合及Cantor-型集合的Assoud维数；（7）对于在Luroth展式中具有给定组频率的实数集合确定了其Hausdorff维数；（8）得到了判断自相似集具有有限型结构的一个充分条件；（9）对于两个压缩率对数可公度的自相似集合，我们研究了它们的算术和集合的结构及维数。