自相似集的多码问题研究

An effective method to investigate a self-similar set, which is generated by a finite number of contractive similitudes, is to establish a so-called coding map from a symbolic space to this self-similar set. Then each member of this self-similar set corresponds to at least one sequence of digits named a coding of this member. Some essential characterizations for a self-similar set are expected to obtain via the distribution of codings of members of this self-similar set. In this project we shall study the subsets of a self-similar set which consist of points of k-codings, points of countable codings and points of uncountable codings, respectively, analyzing their structure and determining their Hausdorff dimensions. We shall focus on the sets of unique coding and uncountable codings and try to find out how they reflect the complexity of the system of contractive similitudes.

自相似集由有限个压缩相似映射所生成，研究自相似集的一个基本且有效的手段是建立符号空间到它之间的一个所谓码映射。通过码映射自相似集中的每一点至少有一个数字序列（称为该点的一个码）与之相对应。研究自相似集的点的码的分布状况可以进一步揭示自相似集的一些本质特性，具有很重要的理论意义。本项目拟对自相似集合（特别地对齐次自相似集所对应的Beta展式）的k-码子集、可数码子集及不可数码子集开展研究，分析其结构并确定它们的Hausdorff维数。我们将重点分析唯一码子集与不可数码子集并探索它们与压缩相似映射系的复杂度之间的关系。通过本项目的研究我们希望能在研究方法上有所创新。

自相似集由有限个压缩相似映射所生成，它是分形几何学中主要被研究的对象之一。当自相似集合的生成迭代函数系统满足开集条件时，该集合的几何结构相对来说较为简单，特别地此时该自相似集合的各种分形维数（Hausdorff、packing、box-counting维数）可以由一个简单的方程来加以确定。当开集条件不满足时，人们常称此情形为具有重叠结构的自相似集。对具有重叠结构的自相似集合，它的几何结构变得异常复杂，相应的分形维数的确定也很困难。近些年来，人们对多种具有重叠结构的自相似集合在附加一些条件时获得了它们的分形维数值。但对于一般情形问题还远未得到解决。.研究自相似集的一个基本且有效的手段是建立符号空间到它之间的一个所谓码映射。通过码映射, 自相似集中的每一点至少有一个数字序列（称为该点的一个码）与之相对应。研究自相似集的点的码的分布状况可以进一步揭示自相似集的一些本质特性，具有很重要的理论意义。本项目拟定的目标是对具有重叠结构的自相似集合（特别地对齐次自相似集所对应的β展式）的k-码子集、可数码子集及不可数码子集开展研究，分析其结构并确定它们的Hausdorff维数。.通过四年的研究，我们获得了一些令人满意的结果，基本完成了该项目预定的研究目标。围绕项目拟定的目标我们在“具有完全重叠结构的自相似集合的多码集合的结构和维数”、“具有重叠结构自相似集合的双Lipschize等价性”、“一般具有重叠结构的自相似集合的唯一码子集的Hausdorff维数的估计”、“齐次自相似集所对应的β展式的唯一码问题、唯一基问题、唯二基”等方面的问题开展了深入的研究，得到了一些有意义的结果。此外，项目组成员也对“自相似集合上的算术”、“分形图上的谱、测地线”等问题开展了研究，也对“Cantor测度的上下密度”、“实数的Luroth展开”等问题开展了研究，这些研究是在基金项目的原始目标中没有提及的。