无网格径向基函数法及其在非线性动力学中的应用

Nonlinear dynamics is a hotspot for research in natural science. Numerical methods for dynamics are mostly based on mesh, and so the accuracy and computational efficiency are restricted by the mesh. In this proposal, Meshfree Radial Basis Function Method which totally abandons the mesh is introduced for the nonlinear dynamics. This method possesses the spectral convergence, high accuracy and computational efficiency. The main research contents are as follows: Large deformation analysis of non-linear elastic and inelastic structures based on Meshfree Radial Basis Function Method is presented. Analysis methods are proposed for reducing the condition number of the computation matrix. Some bench mark problems are introduced to evaluate the influences of the simulation. The accuracy, convergence and stability are also investigated. The explicit time integration method for the strong form collocation is proposed, and the critical time step and its influences are studied. The error studies for numerical simulation based on Meshfree Radial Basis Function Method are presented. Then the formulations of Meshfree Radial Basis Function Method are established, and a meshfree computation software is developed. The research achievements in this proposal provide a new efficient numerical method for nonlinear dynamics. The software presents a good candidate for the simulation of the dynamic problems.

非线性动力学研究是目前国际科学发展的前沿和热点之一。以往求解动力学问题的数值计算方法主要是基于网格的方法，其求解精度和效率往往受到网格限制。本项目拟引入一种完全不需要网格的径向基函数法来分析非线性动力学问题，该方法具有较好的收敛性，可以提高计算精度和效率。主要研究内容包括：针对结构的大变形动力学问题，基于非线性本构模型，研究求解非线性动力学问题的径向基函数法，研究有效的分析方法降低矩阵的条件数，通过典型算例，考察各种因素对数值计算的影响，考察算法的精度、收敛性和稳定性；研究适用于强形式配点的显式积分方法，考察满足稳定性条件的临界时间步长和其影响因素；分析求解过程中的误差构成和对数值结果的影响大小；建立统一通用的无网格径向基函数算法，开发具有自主知识产权的无网格计算软件。研究成果可为非线性动力学的数值计算提供一种高效的计算方法，开发的计算软件可以为无网格法求解相关动力学问题提供计算平台。

无网格径向基函数配点法具有不需要任何网格、易于离散和构建方程、具有指数收敛性等突出优点，但是由于采用全域的形函数，待求方程对应的矩阵是一个满阵，往往伴随有矩阵病态和无法在结果中很好地反应局部特性的问题。本项目征对径向基函数配点法的这些特点，研发了有限子域径向基函数配点法、Hermite径向基函数配点法等相应的方法改进了传统径向基函数配点法的缺点来求解非线性问题、功能梯度材料问题等一些固体力学问题。主要研究成果包括：提出了有限子域径向基函数配点法，这种方法在保持指数收敛性的同时，将原来的满阵转化成了稀疏矩阵，降低了条件数和存贮空间，提高了计算效率，在求解局域存在高梯度的问题以及奇异问题中表现尤为突出；研发了求解非线性动力学问题的强形式求解模式，由于采用满阵进行非线性分析计算量太大，而且每步产生的误差在迭代时会不断累积，导致求解误差过大，将研发的有限子域径向基函数配点法应用于非线性分析中，可以降低误差累积，提高了求解非线性问题的精度和效率；研发了求解功能梯度材料薄板振动和屈曲问题的Hermite径向基函数配点法，由于采用传统径向基函数配点法进行薄板特征值分析时会生成一个超定矩阵，从而无法求解，而Hermite径向基函数配点法在边界节点上引入更多的自由度，使得待求方程对应的矩阵成为正定矩阵，从而可进行特征值分析并在此基础上分析其动力学性能和屈曲特性；研发了适用于强形式配点且能够控制边界误差积累的显式积分方法结合径向基函数算法分析波的传播问题，并给出了特征值分析此类问题的算法格式；研发了径向基函数配点法分析三维功能梯度材料板的静力和动力问题，先离散空间域，然后再离散时间域，并在每一时间步内施加边界条件，据此可解决传统配点方法在求解动力学问题时误差随时间累积的问题；研究了径向基函数配点法求解不可压缩问题，特征值分析表明，径向基函数配点法能够消除非物理锁闭模态，从而可有效缓解这种数值算法求解不可压缩问题中带来的锁闭效应；研发了分析时变刚柔流耦合动力学问题的径向基函数配点法，构建了变系数偏微分方程的一般求解模式，采用Hermite径向基函数配点法进行特征值分析。编写了统一通用的无网格径向基函数算法程序求解上述研究的各类问题，并将其应用于求解其他一般问题，这些研究成果可为固体力学的数值计算提供一种高效的计算方法，开发的算法程序可为无网格法求解相关非线性问题和动力学问题提供计算平台。