径向基函数在散落数据拟合中的应用研究

As an important method of numerical solution of differential equations, spectral method has developed rapidly during the past decades, and has been applied successfully to numerical simulations in many fields. The main advantage is its high accuracy. Radial basis function(RBF) interpolation is an important spectral method, which have become an important weapon in computer graphics, fitting of the scattered data and adaptive numerical solutions to differential equations. It also plays an important role in these fields. In the past, we mostly considered two kinds of radial basis function(RBFs): Gaussian function and Multi-Quadric function, other species of spectrally-accurate RBFs for scattered data approximation will be researched in this project. There is a need for extensive, systematic numerical experiment to test the relationship between the various RBFs and the influence of parameters on basis functions. Whereas, so far, there are few results for such problems. The research results of this project will expand the application of RBFs, develop and enrich the numerical methods for RBFs for scattered data.

作为数值求解微分方程的重要方法，谱方法最近几十年得到了蓬勃的发展，并被广泛应用于多个领域的数值计算中。其最主要优点为计算的高精度性。其中，径向基函数插值法是谱方法的一类重要分支，它已成为计算机图形学、散落数据拟合和求解自适应微分方程数值解的重要工具，并具有非常重要的意义。过往的研究更多考虑的是两类基函数：Gaussian基函数以及Multi-Quadric基函数，在本项目中我们将对更多的具有谱精度的径向基函数进行研究。通过大量系统的数值实验来说明不同的基函数的关系以及参数对基函数的影响。到目前为止，关于这方面的研究并不多见。该项目的研究成果将拓展径向基函数的应用范围，发展和丰富径向基函数在散落数据拟合方向的数值解法。

作为数值求解微分方程的重要方法，谱方法最近几十年得到了蓬勃的发展，并被广泛应用于多个领域的数值计算中，其最主要优点为计算的高精度性。其中，径向基函数插值法是谱方法的一类重要分支，它已成为计算机图形学、散落数据拟合和求解自适应微分方程数值解的重要工具，并具有非常重要的意义。为此，本项目主要研究发展和丰富径向基函数在散落数据拟合方向的数值解法；引入了多种新的正交或双正交的基函数，包括Sobolev正交或双正交的Legendre，Chebyshev，以及有理基函数，并研究了其相关性质。上述工作丰富了谱方法的基本理论，从而在一定程度上拓展谱方法的理论基础及其应用范围。