相对同调与Wakamatsu倾斜理论

研究Gorenstein投射模的左n-正交类的右逼近的性质，并结合Auslander-Bridger理论来研究Gorenstein投射猜想。研究Gorenstein投射模的性质及其在某些代数扩张下的不变性；特别地，将研究在（几乎）优扩张或其他相关扩张下的Gorenstein投射模的性质的不变性，希望由此能证明在我们所研究的扩张下，代数的CM-有限性是不变的，从而可以由一个已知的CM-有限代数可以构造出足够多的这类代数。研究和Wakamatsu倾斜模有关的同调模的级数的性质，从而加深对Wakamatsu倾斜模的极小内射分解的内涵的理解。利用Wakamatsu倾斜模的左正交类的反变有限性结合F. Mantese和I. Reiten的相关结果来系统地研究Wakamatsu倾斜猜想。力争在这些问题的研究中取得本质性的进展。这将在同调代数和代数表示论中具有重要的理论意义。

设A是Abel范畴且C是A的加法全子范畴。对A中的任意短正合列，给出了由中两项的（余）真C-（余）分解得到第三项的（余）真C-（余）分解的一般性构造方法；由此证明了C的Gorenstein范畴是稳定的，从而肯定回答了Sather-Wagstaff，Sharif和White于2008年提出的一个公开问题；研究了C-导出范畴和C-奇异范畴的性质，推广了Buchweitz和Happel等人的经典结果。引入了相对预可解和余预可解子范畴的概念，定义了相对于这些范畴的同调维数。通过给出这些维数的性质，统一了一些已知的经典结果；然后给出这些结果在模范畴中的应用，并由此提出了一些与著名的Auslander-Reiten猜想和强Nakayama猜想密切相关的公开问题。.引入了环的弱优扩张的概念，证明了Artin代数的表示型，CM-有限型，CM-自由型在弱优扩张下都是不变的；于是由一个已知的有限表示型代数，或CM-有限型代数，或CM-自由型代数可以构造出足够多的同类代数。.引入了模的余转置，并由此定义了n-余挠自由模，证明了关于Auslander转置和n-余挠自由模的许多重要结论确有对偶形式；给出例子说明，∞-挠自由模类关于满同态的核不是封闭的，从而否定回答了Huang和Huang于2012年提出的一个公开问题；证明了∞-C-挠自由模类Morita等价于C-不稳定模类的一个子类；建立了模M的相对同调维数与Hom(C, M)的标准同调维数之间的联系；给出了半倾斜模和Gorenstein Artin代数的等价刻画和Auslander-Bridger逼近定理的对偶形式。.将形式上三角矩阵环的许多结果推广到了Morita contexts上，回答了Varadarajan在2008年提出的几个公开问题。研究了局部环上广义矩阵环的强clean性，统一了有关2阶矩阵环的强clean性的几乎所有刻画，构造了足够多的强clean环新的例子。