相对同调理论与导出范畴

The purpose of the project is to quest for new homological properties and invariants of modules and complexes of modules, by way of the research of relative homological theories. Traditional homological methods are always adopted to develop homological algebra regardless of classical or relative . In the study, we will find some new (pre)covering class and (pre)enveloping class, adopting more effective derived category methods and tilting theories. By means of investigating the existence and completeness of all kinds of covers and envelopes by cotorsion theory, then to investigate various generalized Ext and Tor functions, to abtain new approach for computing homological dimensions. And that can study the properties and structures of some important ring class. At the same time, We discuss the application of relative homological theories in tilting theories and derived categories. Derived category methods are applied in the project, which have very impotant significance for further enriching and developing relative homological algebra.

本项目旨在通过对相对同调理论的研究，寻求模范畴和模复形范畴中更多的同调性质和不变量。经典同调代数和相对同调代数是在模范畴中利用传统的同调方法展开的。本项目将利用更为有效的工具- - 导出范畴方法和倾斜理论，来发现新的覆盖类和包络类，通过对模及复形的各种覆盖、包络存在性和完备性的考查，研究广义导出函子, 得到计算同调维数的新途径；借助对模与复形的相对同调性质和不变量的研究，来得到一些重要环类的结构和性质。同时，研究相对同调理论在倾斜理论和导出范畴中的应用。本项目将导出范畴方法应用于模与复形相对同调理论的研究，对于进一步丰富和发展相对同调代数具有重要意义。

相对同调代数是上世纪九十年代由 Enochs，Auslander 和 Reiten 等人创立并发展起来的,它推广和发展了经典同调代数中的函子理论和维数理论，其核心是覆盖、包络理论。目前，关于相对同调代数的研究已经取得了许多重要成果。本项目继续这个领域的研究。. 我们利用余挠理论研究模与复形的各种（预）覆盖和（预）包络，研究模与复形的同调不变量，以及在代数其他分支的应用。通过研究，我们给出 Ding 投（内）射模的交换图性质刻画；证明了任意环上的任意模都存在 Gorenstein 平坦预覆盖。并且，在右 coherent 环 R上，任意左R-模的复形都存在 C-E（Gorenstein）平坦预包络（覆盖）；引入并研究了相对于一个余挠理论的 C-E投（内）射复形，我们给出 C-E 投射复形的模性质刻画；证明了有界复形范畴中几乎可裂序列的存在性。所做工作在一定程度上丰富了相对同调理论。