Sturm-Liouville 逆结点问题的适定性研究

As a typical representative of inverse problems, inverse Sturm-Liouville problems have gradually developed into one of the most active research topics in applied mathematics. From the nonlinear mapping point of new view, in this project we will take the Sturm-Liouville differential operators as the main research object, and study the existence, unique reconstruction, and stability of the inverse problems in terms of the spectral data consisting of the subset of nodal points (zeros) of eigenfunctions. The main contents are as follows. By analyzing the properties of the non-overdetermined nodal points which ensure the uniqueness, we will provide the conditions that two sequences can be used as the nodal points, and establish the homeomorphism mapping between the two sequences and the potential functions so as to achieve the existence. By establishing the relationship between the subset of nodal points and the set of eigenvalues and norming constants, and taking the GLM integral equation as the main tool, we will realize the unique reconstruction of potential. By analyzing the continuity and analyticity of the above homeomorphism mapping, we will achieve the stability of the inverse nodal problem. Basing on the methods established above, we will study the well-posedness of a new inverse nodal problem by using the subset of nodal points of Wronskians determinant formed by eigenfunctions. The study of this project intends to form and obtain some new methods and new results of dealing with the inverse nodal problems, and further enrich and develop the theory of differential operators.

作为逆问题研究的典型代表，Sturm-Liouville逆谱问题已发展成为应用数学领域中最为活跃的研究课题之一。本项目以Sturm-Liouville微分算子为主要研究对象，以特征函数的结点为谱数据，从非线性映射的新观点出发研究其逆问题的存在性、唯一重构以及稳定性。具体内容有：探明使得唯一性成立的非超定结点数据的特性，拟给出两组数列为该结点数据的条件并建立其与势函数之间的同胚映射以实现逆结点问题的存在性；建立该结点数据与特征值、规范常数集之间的对应关系，以GLM积分方程为主要工具实现势函数的唯一重构；通过分析以上同胚映射的连续性和解析性，实现逆结点问题的稳定性；应用已建立的方法，以特征函数组成的Wronskians行列式的结点作为谱数据研究一类新逆结点适定性问题。该项目的研究旨在形成和得到处理逆结点问题的新方法和新结果，进一步丰富和拓展微分算子理论。

微分算子的逆谱问题一直是数学和物理学研究的热门课题，Sturm-Liouville逆结点问题的适定性是其中一个非常重要的研究分支。本项目以Sturm-Liouville算子为主要研究对象，借助与特征函数相关联的信息，经过三年的研究，取得了以下成果。. 考虑定义在[0,1]区间上的自伴Sturm-Liouville算子的唯一性。借助与特征函数相关联的结点数据，通过建立特征值与势函数Lebesgue点之间的关系，利用结点的渐近性能，提出了解决逆结点问题的新方法，给出了稠密结点集唯一确定势函数的非超定的Sharp条件，探明了使得唯一性成立的结点数据满足的特性。. 考虑定义在[0,1]区间上的自伴Sturm-Liouville算子的存在性及重构。借助与特征函数相关联的特征值，在经典三组谱定理的基础上，即子区间[0,1/2]和[1/2,1]上的Sturm-Liouville算子在x=1/2处的界面条件相同，考虑新的三组谱逆问题，即子区间上的算子在x=1/2处的界面条件不同。利用三组谱的渐近性和交错性，建立了三组数列确定[0,1]区间上势函数的存在唯一性定理，进一步给出了势函数的重构步骤。. 考虑定义在全直线上的自伴Sturm-Liouville算子的逆散射问题。借助与特征函数相关联的结点数据，当属于Faddeev函数类的势函数在内部子区间上已知时，通过建立与特征值和规范常数相关联的Vandermonde型矩阵，证明了散射矩阵可唯一确定势函数。此外，我们发现当已知势函数在内部子区间上是非绝对连续时，仅利用散射系数就可以保证唯一性结论成立，从而有效的回答了 Weder 提出的公开问题。此结论可以使没有物理意义的规范常数缺失。. 除上述针对Sturm-Liouville算子的结论外，基于特征函数的信息，课题组还研究了Dirac算子和微分束的逆问题。对于定义在有限区间上的Dirac算子，当势函数在内部子区间上已知时，借助与已知特征值相对应的特征函数在内部固定点的比值，结合部分特征值实现了势函数的唯一确定性。对于定义在有限区间上的非连续微分束，利用特征函数在内部固定点比值的信息，证明了一组谱或两组部分谱可以唯一确定势函数及其边界条件参数。.