随机偏微分方程的传输不等式

This project is mainly devoted to transport inequalities and moderate deviations for some stochastic partial differential equations(e.g. stochastic Burgers，porous media，Navier-Stokes equations). For transport inequalities, we are interested at two kinds of inequalities: Talagrand's inequalities W2H and transport inequalities W1H for some stochastic partial differential equations under suitable metrics. For moderate deviations, we want to establish the moderate deviation principle for some stochastic partial differential equations deriven by Lévy noise or with the reflection for the first time.

该项目研究随机偏微分方程(随机Burgers，porous media，Navier-Stokes方程等)的传输不等式和中偏差问题。在传输不等式方面，我们希望对某些随机偏微分方程, 关于某种合适的度量建立过程水平的Talagrand 不等式W2H和传输不等式W1H。 在中偏差方面，我们希望对某些无穷维随机偏微分方程，包括由Lévy 噪声驱动的，或有反射边界的随机偏微分方程，首次建立中偏差原理。

大偏差理论与泛函不等式是随机分析中的一个重要研究分支， 也是当前国内外研究的热点之一。 它们为研究随机动力系统提供了一种有效的尾概率估计和收敛速度估计。 本项目研究了随机偏微分方程 Freidlin-Wentzell型和 Donsker-Varadhan 型大偏差原理和中偏差原理、 图上的泛函不等式和熵产生率的极限性质等。具体地包括以下内容：.1）本项目针对一些随机偏微分方程建立了Freidlin-Wentzell型中心极限定理和中偏差原理， 其中包括白噪声驱动的随机反应扩散方程、随机Navier-Stokes方程、随机波动方程、 彩色噪声驱动的分数随机热方程和随机 Volterra 方程等模型。它给出了带有小扰动的随机动力系统与确定性动力系统的、 与大偏差原理尺度不同概率偏差估计。.2）本项目针对一些耗散性强的随机偏微分方程建立了占位时测度的 Donsker-Varadhan 型大偏差原理， 其中包括随机 p-Laplace 方程、 随机 porous media 方程、 随机 fast-diffusion 方程等, 甚至包括由柱型(或对称) alpha-stable 过程驱动的反应扩散方程。 在此过程中, 我们需要对 alpha-stable 过程驱动的反应扩散方程建立强 Feller 性和不可约性。 另外， 我们还利用耦合方法研究了二阶流体方程经验测度的指数遍历性。.3）本项目对有限图上的对称近邻的马氏过程建立了一些泛函不等式， 包括对数 Sobolev、加权的 Poincaré、 广义的 Cheeger 等周、传输熵和传输信息不等式， 并针对一些具体的模型给出了最优常数的估计。 此外，　本项目还利用了　Poincaré 不等式和对数 Sobolev 不等式的工具研究研究了高维 Ornstein-Uhlenbeck 过程的熵产生率的中心极限定理和中偏差原理。并且利用中偏差原理得到了熵产生的重对数率。