随机偏微分方程的占位时和不变测度的大偏差

The asymptotics of the probabilities of large deviations for stochastic partial differential equations have always plays an important role in the study of the effect of random noise on large time intervals. One objective of this project is devoted to the large deviation principle of occupation measures for stochastic Navier-Stokes equation driven by degenerated Wiener noises, as the time converges to infinite. Another one is devoted to the large deviation principle for invariant measures of stochastic Navier-Stokes equation driven by Lévy noises, as the parameter characterizing the smallness of the random perturbation converges to zero. Due to the lack of the strong Feller property and irreducibility in the degenerated noise case, and the lack of good regularity for the sample path of the solutions in the jump case, there will be some new and challenging mathematical problems. We need some new ideas and methods to solve those problems.

为了研究随机噪声在长时间范围内对动力系统造成的影响，通常需要估计一些稀有事件发生的概率。此时，大偏差方法是一个非常有效的工具。本项目拟研究以下两个方面的问题:(1) 针对一个由退化高斯过程驱动的随机Navier-Stokes方程，证明其占位时测度，随着时间的增加，满足大偏差原理。(2) 针对一族由Lévy过程驱动的随机Navier-Stokes方程，证明当噪声强度减弱时，相应的不变测度满足大偏差原理。因为噪声的退化会引起强Feller性和不可约性的缺失，跳的出现会引起样本轨道的某些正则性的缺失，我们需要寻找新的思想和方法来研究这个课题。

本项目研究了随机偏微分方程Freidlin-Wentzell型和Donsker-Varadhan型大偏差原理和中偏差原理、随机偏微分方程的运费不等式、高斯过程的轨道性质等。具体地包括以下内容：..1）本项目针对一些随机偏微分方程建立了Freidlin-Wentzell型中心极限定理、中偏差和大偏差，其中包括一类半线性随机偏微分方程、随机Cahn-Hilliard方程、两尺度的随机Burgers方程、带反射的随机Burgers方程等。..2）本项目针对带跳的Burgers方程建立了占位时测度的Donsker-Varadhan型大偏差原理。. . 3)申请人研究了彩色噪声驱动的随机热方程关于一致度量建立了T2运费不等式。在证明中，关于彩色噪声的随机积分的BDG不等式起到了关键的作用，并且该不等式本身具有重要的意义。我们还针对带跳的具有非Lipschitz系数的随机热方程建立T1运费不等式，这些结果将已知的结果推广到了无穷维情形。..4）本项目研究了一类具有自相似但不具有平稳增量性的高斯过程的轨道性质。包括一致连续模、小球概率、Chung重对数率、切过程等。由于该过程不具有平稳增量性，很多经典的方法无法直接应用。这些研究丰富了人们对高斯自相似过程的样本轨道的认识。