随机偏微分方程

In the real world, any object will be disturbed by others or by itself vibration, and we call these interferences as noise perturbations. Some impacts of noise are weak, that is, the main natures of the object will not be changed. However, some impacts of noise are strong and it can change the main natures. Suppose a system stays in an ideal situation, or suppose the system has strong anti-interference ability, then the system can be described by deterministic (partial) differential equations. But if the system is sensitive for noise perturbations, it will be described by stochastic (partial) differential equations. Therefore, the study of stochastic (partial) differential equations is necessary. This project is planned to study some kinds of stochastic (partial) differential equations which derived from statistical physics, Economics, Biology,.Neural network and so on. We will consider the well-posedness, regularity, dynamic properties and the impact of noise. Moreover, the probabilistic representations of solutions to the partial differential equations will be also considered. The contents contain: (1) the well-posedness of stochastic fluid equations; (2) the regularity of solutions to the stochastic partial differential equations; (3) the existence and uniqueness of stochastic traveling wave solutions and the probabilistic representations of solutions to the partial differential equations.

在自然界中，任何物体都会受到其他物体的干扰，或因物体自身的振动等原因而产生的自我干扰，我们把这些干扰统称为噪声扰动。有些噪声的影响是微弱的，即不会改变其自身的主要性质。相反，有些噪声的影响则是强烈的，可以发生本质性的改变。假设一个系统在理想的情况下运转，或者假设此系统具有很强的抗干扰能力，则此系统可以用确定型(偏)微分方程来描述。如果一个系统对噪声敏感，则要用随机(偏)微分方程来描述。由此可知，研究随机(偏)微分方程的必要性。本项目拟研究来源于统计物理、经济、生物、神经网络等学科领域中出现的几类随机(偏)微分方程，讨论其解的适定性、正则性，动力学性质和噪声的影响，以及偏微分方程解的概率表示。内容包括:(1) 随机流体方程解的适定性；(2) 随机偏微分方程解的正则性;(3) 随机行波解的存在唯一性和偏微分方程解的概率表示。

在自然界中，任何物体都会受到其他物体的干扰，或因物体自身的振动等原因而产生的自我干扰，我们把这些干扰统称为噪声扰动。有些噪声的影响是微弱的，即不会改变其自身的主要性质。相反，有些噪声的影响则是强烈的，可以发生本质性的改变。假设一个系统在理想的情况下运转，或者假设此系统具有很强的抗干扰能力，则此系统可以用确定型(偏)微分方程来描述。如果一个系统对噪声敏感，则要用随机(偏)微分方程来描述。由此可知，研究随机(偏)微分方程的必要性。本项目拟研究来源于统计物理、经济、生物、神经网络等学科领域中出现的几类随机(偏)微分方程，讨论其解的适定性、正则性，动力学性质和噪声的影响，以及偏微分方程解的概率表示。内容包括:(1) 随机偏微分方程解的适定性；(2) 随机偏微分方程解的正则性; (3) 随机行波解的存在唯一性和偏微分方程解的概率表示。.执行项目期间，得到了如下结果：利用确定型偏微分方程的正则性理论，结合随机分析，得到了带有梯度项的随机输运方程解的Schauder估计；通过构造合适的检验函数和Lyapunov泛函，证明了噪声可以诱导解的有限时刻爆破，特殊的非线性项可以抑制解的有限时刻爆破，并考虑了噪声项和非线性项之间的竞争关系；利用确定型动力系统的方法，结合概率知识，证明了在分布意义下，一类扩散过程具有周期解，并给出了周期解存在的充分条件。此外，还利用偏微分方程的知识，通过研究其对应的Fokker-Planck方程，得到了分布意义下周期解的存在性；通过定义合适的辅助函数，证明了加性噪声会阻碍解的有限时刻爆破，以及在全空间下，对于某些乘性噪声和非负不恒等于零的初值，解会有限时刻爆破，此结果类似于Fujita指数理论，该论文在投稿中。此外，我们还正在考虑随机涡旋解的存在性，已经得到数值模拟，噪声可以影响涡旋解的存在性，也可以促使系统产生多个涡旋解，其理论证明正在整理中。