随机多辛几何算法的构造与分析

This project will focus on the construction and analysis of stochastic multi-symplectic geometric algorithm of stochastic Hamiltonian PDEs. The main research topics include, investigating the construction of novel stochastic multi-symplectic geometric algorithm of stochastic Hamiltonian PDEs by using wavelet collocation method and local discontinuous Galerkin method, respectively; doing the theoretical analysis of stochastic multi-symplectic geometric algorithm, including strong (weak) convergence, stability and structure-preserving etc. The research works of this project will solve some important theoretical problems of stochastic multi-symplectic geometry algorithm and provide a practical and efficient method for the numerically solving of the stochastic Hamiltonian PDEs. It has the important theoretical significance and application value.

本项目拟开展随机哈密尔顿PDEs随机多辛几何算法的构造与分析研究，主要内容包括，对随机哈密尔顿PDEs，分别结合小波插值思想与局部间断Galerkin有限元方法，研究新型随机多辛几何算法的构造；结合现代随机分析工具对所构造的随机多辛几何算法进行理论分析，包括强弱收敛性、稳定性和守恒性等。本项目的研究工作将解决随机多辛几何算法的一些重要理论问题，为数值求解随机哈密尔顿PDEs提供实用、高效的计算方法，具有重要的理论意义和应用价值。

在本项目研究中，我们针对在量子物理、统计无线电物理等领域发挥关键作用的随机麦克斯韦方程以及在光纤通信、分子动力学领域起着关键作用的随机薛定谔方程开展了随机多辛几何算法的系统构造、数值分析理论和高效实现等方面的研究：针对随机麦克斯韦方程，提出了随机多辛小波配置算法，理论上证明该方法可以精确保持原系统的重要数学结构和物理特性，实现了对三维随机麦克斯韦方程数千条轨道的高效、长时间数值模拟；证明了其相流保持无穷维随机辛几何结构，构造了一类保持离散随机辛几何守恒律的随机辛Runge-Kutta 方法，并证明该方法的均方收敛阶为1；利用能量估计技巧证明隐式Euler时间半离散格式的均方收敛阶为1/2；对于随机非线性薛定谔方程，提出了一种具有高收敛阶和稀疏性等优点的紧致差分格式，证明了该格式不仅保持离散的随机多辛守恒律，而且保持离散的电荷守恒律和离散的能量演化规律，该格式为数值研究随机效应下孤立波的传播提供了有力工具。