多辛算法的构造及其应用研究

本项目主要研究哈密尔顿系统的多辛格式，尤其是分裂步多辛格式，高精度多辛格式及其在流体力学、计算物理中的应用。. 结合分裂步方法的基本思想和多辛格式的构造思想，同时借鉴分裂步辛格式的构造方法，为非线性和多维多辛哈密尔顿系统设计分裂步多辛格式。. 现有常用的构造高精度多辛格式的方法，如多级高阶多辛RK方法，构造的高阶多辛格式往往不实用，原因主要在于它们都是隐式的且中间变量不易消去。利用Richardson外推的思想通过低阶多辛格式来构造高精度多辛格式，利用分裂和复合方法构造高精度的多辛格式，最好是显式的，根据多辛方程组的建立过程，消去中间变量。用这些格式来模拟电磁学、量子力学等计算物理领域内的问题。. 辛和多辛格式很少用于间断问题，主要困难在于间断点处的求解。利用计算流体力学方法的构造思想，在辛和多辛格式加入粘性项，使其在间断处得到理想的数值效果。

本项目主要研究了哈密尔顿系统的辛和多辛算法。主要有哈密尔顿系统的辛格式的构造及其应用，多辛哈密尔顿系统的多辛格式的构造及其应用。. 第一，以Maxwell方程、Gross-Pitaevskii方程为例研究了多维多辛哈密尔顿系统的局部一维多辛格式，主要有线性和非线性多维系统的分裂方式，分裂后的子多辛哈密尔顿系统的离散方式，对总体格式的精度和守恒性进行了分析讨论。得到了总体格式不仅具有较好的多辛性，同时在一定条件下具有保持其他局部守恒律的特征。. 第二，研究了一维多辛哈密尔顿系统的分裂步多辛格式，所得到的格式不仅能够较好地保持原系统的多辛结构特征，而且在一定条件下具有传统多辛格式不具有的守恒律和收敛速度。格式的计算效率高，守恒性好。. 第三，对多维哈密尔顿系统的辛格式的构造方法进行了进一步的完善，以二维Gross-Pitaevskii方程为例，深入研究了其高阶高效的分裂步辛算法，所得到的数值格式较一般算法收敛阶高，计算快，守恒性好。. 第四，研究了具有较好辛结构的伪辛和为多辛算法，把辛和多辛算法与外推算法，高阶紧致格式的思想相结合，得到了一些高效、高阶的具有辛或者多辛算法特征的算法，并把它们应用到了量子力学中的耦合薛定谔方程组中，得到了较为满意的结果。. 最后，还研究了适合于哈密尔顿系统和非哈密尔顿系统计算的求解微分方程数值解的高阶紧致格式，得到了较为理想的数值结果和理论结果。