Schrodinger-Poisson方程的若干问题研究

The study of standing waves in quantum mechanics,semiconductor theory and in nonlinear optics leads to the study of nonlinear elliptic diffierent equation with a coupling term. The main aim of this project is to consider the existence of solutions with physical meaning(bound state) and its related properties. We want to solve the following two questions: 1. If the potentials are non radial symmetry, we are going to concern the asymptotic profile of bound state of Schrodinger-Poisson equation with much more nonlinearity and how the range of parameters affect the existence of solutions. 2. If the potentials decay to zero at infinity, especially the fast decay, and we want to study the existence of bound state and the concentration phenomenon of the solutions.

量子力学、半导体理论及非线性光学等理论物理学科中出现的Schr?dinger-Poisson方程驻波解的研究，往往转化成对一类带有耦合项的椭圆型方程的研究。本项目主要研究非线性Schr?dinger-Poisson方程中一类有物理意义的解-束缚态(bound state)的存在性及相关性质。我们拟解决的问题是：1.当位势函数非径向对称，非线性项具有较一般形式时，方程解的渐近性态及参数对方程解的存在性的影响。2. 如果位势函数在无穷远处的极限为零,特别是快速衰减到零时，方程束缚态的存在性以及解的集中性态。拟通过这些问题的研究，更加深刻地了解位势函数的衰减行为、参数取值范围对方程解的存在性的影响。

理论物理学科-量子力学、半导体理论及非线性光学等中出现的Schrödinger-Poisson方程驻波解的研究，往往转化成对一类带有耦合项的椭圆型方程的研究。本项目主要研究非线性Schrödinger方程中一类有物理意义的解-束缚态(bound state)的存在性以及相关性质。. 在本项目的研究工作中，我们首先对带有消失位势的Schrodinger方程的基态解进行了探讨。在加权的Sobolev空间中，采用Nehari流形的方法，我们证明了该方程存在基态解；进一步，如果位势函数关于空间变量径向对称，非线性项满足一定的增长性条件，该方程在正解。这一研究成果对于进一步讨论Schrödinger-Poisson的相关问题打下了基础。同时，我们也研究了带有扰动项参数的非线性Schrödinger-Poisson方程的解的存在性及集中性态、衰减性质等。当方程的位势函数有正下界，非线性函数在原点超线性，在无穷远处次临界，并满足类似于（A-R）条件时，我们采用变分方法寻求该方程的弱解。由于全空间上该方程的能量泛函缺乏紧性，这给证明Palais-Smale序列的有界性制造了障碍，为此我们采用了罚函数技巧，首先我们研究相对应的罚函数方程，在此过程中，我们利用非线性项满足的较弱的条件首先证明新方程存在弱解，然后再对该弱解进行细致的一致界和范数估计等，我们证明该弱解其实就是原方程的弱解，同时还证明了该弱解具有指数形式衰减。