非线性Schrodinger-Poisson方程组的高频驻波解及相关问题

The standing wave of nonlinear Schrodinger-Poisson systems is a very active area of research in the last 10 years. Most research on this topic are limited on the case that the Schrodinger operator is positive. In this case the energy functional has the mountain pass geometry and lots of interesting results are obtained via the mountain pass lemma. However, if we are interested in high frequency standing waves of the time dependent Schrodinger-Poisson systems, the Schrodinger operator in the stationary system is not positive. For this case there are very few results. In this project, base on our recent research in this area, we will systematically study the existence and multiplicity of standing waves nonlinear Schrodinger-Poisson systems in the case that the Schrodinger operator is indefinite. For the potential, our consideration includes the strongly indefinite case with periodic potential, for the nonlinearity, we will consider the asymptotically linear case as well as the 4-superlinear case.

非线性Schrodinger-Poisson方程组的驻波解是近10年来非常活跃的研究课题. 大部分这方面的研究只限于Schrodinger算子是正算子的情形, 这时对应的能量泛函有山路几何结构, 人们用山路引理等方法得到许多重要的结果. 然而, 如果要寻求原时变Schrodinger-Poisson方程组的高频驻波解, 则相应的稳态方程组中的Schrodinger算子不再是正算子, 对于这种情形, 结果非常少. 本项目将在我们近期在这方面的研究工作的基础上, 系统地研究Schrodinger算子有负空间的不定情形的非线性Schrodinger-Poisson方程组的解的存在性和多重性. 我们将考虑包括周期位势在内的强不定情形. 对于非线性项, 我们将考虑渐近线性, 4-超线性的情形.

本项目研究非线性Schrodinger-Poisson方程组的驻波解及相关的与Schrodinger算子相关的各种非线性偏微分方程问题。这类问题来源于非线性光学等物理现象，有重要的物理背景；在数学上也有很大的挑战。因此，近二十年来这方面的研究一直是非线性分析领域的中心课题。与前人的工作不同，我们主要关注Schrodinger算子有负空间的情形，对应到原先的时变Schrodinger方程，就是要求高频驻波解。对这种情形，零函数不再是能量泛函的局部极小值点，山路定理不能应用；更重要的是由于耦合项或拟线性项的作用，泛函也不满足环绕定理的条件，这是与半线性Schrodinger方程的情形完全不同的。我们以前的研究发现能量泛函满足局部环绕条件，并运用我国数学家李树杰、刘嘉荃(项目负责人的两位导师)在80年代发展的局部环绕理论在非线性项超4次增长时得到解的存在性。在本项目中，我们用Pohozaev恒等式克服渐近临界点列可能无界的障碍，研究了更困难的p次增长情形，其中2< p <3 或3< p <4。另外，我们也在Schrodinger算子有负空间的情形研究了更为困难的拟线性Schrodinger方程的驻波解的存在性(以往人们只能研究Schrodinger算子正定的情形)。通过对能量泛函的主部做Taylor展开，我们发现此类问题的能量泛函也满足局部环绕条件，从而结合无穷维Morse理论率先得到不定位势拟线性Schrodinger方程的驻波解。此外，我们还研究了带小参数的非线性Schrodinger方程组、非线性Choquard方程、分数阶Schrodinger等一系列问题。并研究小参数趋于0时解的渐近行为。