超奇异积分的数值计算与非局部模型的数值求解

In recent years, nonlocal models have been developed rapidly, and they can be used to describe a lot of physical phenomenon in the form of integral equations instead of classical PDE model. The related mathematical theory has been improved gradually, but the investigation on numerical simulation is relatively lagging behind. An important reason why this happened is that the integral operators in nonlocal models usually possess hyper-singularity, and exhibit more general form, which leads to the lack of efficient quadrature rules. In this project, we devote ourselves to investigate different numerical quadrature rules for such hypersingular integrals, which can provide the efficient computational tools for various numerical methods to solve the nonlocal models. Meanwhile, we also study the algorithm design, error analysis and numerical simulation for these numerical methods.

近年来迅速发展起来的非局部模型，以积分方程的形式代替传统偏微分方程构建新的数学模型来描述诸多物理现象。相关的数学理论正在逐步完善，但数值模拟方面的研究却相对滞后，造成这一现象的一个重要原因是非局部模型中的积分算子通常具有超奇异性，且形式更为一般化，使得现有的数值求积公式难以满足需要。本项目将致力于研究超奇异积分的高效数值求积公式，为非局部模型的各种数值解法提供行之有效的计算工具，同时展开这些解法的格式构造、误差分析以及数值模拟的研究。

近年来迅速发展起来的非局部模型，以积分方程的形式代替传统的偏微分方程构建新的数学模型来描述诸多物理现象，在数学理论、数值方法等方面取得了长足的发展。对于非局部模型的数值求解，一个关键的问题在于如何有效地构造非局部模型中积分算子，尤其是奇异积分算子的数值求积公式。本项目围绕这些问题进行相关的数值方法研究，并取得了重要进展：针对非局部模型中的积分算子构造了相应的数值求积公式，包括复化牛顿-科特斯公式的构造、超收敛性分析和自适应算法，得到了相应的误差估计；进一步将这些公式应用于非局部模型的数值求解，构造了相应的配置格式，得到了最优的误差估计。本项目的预期工作目标已经基本完成，相关研究成果将对非局部模型的数值求解起着一定的推动作用。