面向科学和工程计算的奇异积分方程数值研究

Theories of singular integral equations and reproducing kernel space and their applications in science and engineering will be further studied. In this project, we will focus on the numerical solutions of integral equations of singular kernel and hypersingular integral equations.Meanwhile,the properties of numerical solutions will be studied, for example, convergence,stability and oscillation.. In this project, we will establish the valid algorithm for solving singular integral equations in the reproducing kernel space by combining with existing methods and improving the traditional methods of reproducing kernel function. Then set up a new theory system in reproducing kernel space and develop the widely useful professional mathematical software. The research of the project not only can promote the development of theories of singular integral equations,but also can provide strong support for the many practical problems in mechanics, physics and engineering technology.

本项目将对奇异积分方程和再生核空间理论及其在科学和工程上的应用作更深一步的研究，涉及到的主要研究内容有奇性核积分方程（包括Chuchy核、Hilbert核和余割核三种）和超奇异积分方程等奇异积分方程的数值求解及数值解的性质，如：收敛性、稳定性和振动性等。 . 拟通过改造传统的再生核函数的解法，并结合现有的方法给出求解以上奇异积分方程的有效算法，从而在再生核空间框架下建立一套理论，并开发具有广泛应用的专业数学软件。因此，本课题的研究不但能够促进奇异积分方程问题处理技术的发展，而且还为许多力学、物理学和工程技术中的实际问题提供强有力的支持。

本项目对奇异积分方程和再生核空间理论及其在科学和工程上的应用作了更深一步的研究，涉及到的主要研究内容有奇性核积分方程（包括Chuchy核、Hilbert核和余割核三种）和超奇异积分方程等奇异积分方程的数值求解及数值解的性质，如：收敛性、稳定性和振动性等。. 通过改造传统的再生核函数的解法，并结合现有的方法给出了求解以上奇异积分方程的有效算法，在再生核空间框架下建立一套理论，主要研究了用再生核结合配置法求解一类带有积分边值条件的四阶非线性微分方程、Adomian 分解法处理非线性三阶微分方程、再生核方法处理边值问题的收敛速率，证明了两个再生核空间的等价性以及伴随算子的一些结论、讨论了自变量分段连续超前型微分方程的振动性的保留性，通过龙格-库塔法，得到数值解振动的条件、研究了自变量分段连续超前型微分方程的θ-方法的数值振动性，得到了θ-方法振动的条件、一类非线性延迟微分方程带有单峰造血率的造血模型数值解的振动性和非振动性等，因此，本课题的研究不但促进了奇异积分方程问题处理技术的发展，而且还为许多力学、物理学和工程技术中的实际问题提供了强有力的支持。