超奇异积分方程数值求解及其在电磁计算中的应用

近几十年来,边界元方法作为一种重要的数值计算方法得到了极大的发展，并在科学与工程计算的众多领域得到了广泛应用。单纯的边界元方法所能解决的问题是十分有限的，将边界元与其他科学计算方法如有限元、有限差分等方法相结合,发挥各自的长处，是现代边界元的一个重要发展趋势，其中超奇异积分方程的数值求解是一个核心研究内容。本项目将深入系统地研究超奇异积分方程配置法的超收敛现象，探索配置点对求解精度的影响；研究帯角点边界上超奇异积分方程的有效离散格式，结合区域方程构造耦合算法；研究配置法的预处理方法以提高计算效率；研究二维超奇异积分的数值计算方法，并将这些结果应用于三维电磁散射等实际计算问题，为发展多方法耦合的、新型的高性能算法打下基础。

本项目着重研究奇异积分方程的数值求解及其相关应用，预期工作目标已基本完成，并取得了一系列成果。基于奇异积分数值计算的超收敛性质，构造了几类奇异积分方程的配置格式，在理论和数值上都保证了这些格式的高精度及高效性，此系列的研究亦发表论文3篇。在奇异积分方程的应用上也取得重大进展：成功地将奇异积分的计算应用于电磁腔体散射问题的有限元计算中，并设计了相关的快速算法，已发表论文1篇；同时将奇异积分的概念引入到nonlocal问题中，拓宽了nonlocal问题的计算范围，并设计了相关求积公式以实现有限元、有限差分及配置法的快速求解，相关工作已经投稿。